leetcode(力扣) 516. 最长回文子序列 (动态规划)

题目描述

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：
输入：s = “abc”
输出：3
解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”\

示例 2：
输入：s = “aaa”
输出：6
解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”

思路分析

直接老规矩，动态规划五步走。

1.确定dp数组含义

dp[i][j] 表示数组[i:j] 中的最长回文子序列的长度。

这和上一道题 647. 回文子串是不一样的，上一道题要求的子串，要求连续，这个子序列可以不连续。

之前做的动态规划都是这样，子数组连续，子序列不连续。

2.状态转移公式：

回文串的题，上来直接就是看s[i]和s[j]相等不相等。
相等的话 公式： dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

这个应该比较好理解吧，看下面我偷的图秒懂。
左边加个数，右边加个数，总长度是上一个状态+2嘛。

不相等的话，那就看看只加左边的数能不能构成新的变长的回文子串，或者只加右边的数能不能变成新的变长的回文子串。
即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])

3.初始化dp数组

从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以要手动初始化 i == j 的情况，也就是对角线。都是一个字符，所以肯定都是1.
其余情况都是0.

4.确定遍历顺序：

从公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]。

所以和上一道题一样，从左下角遍历到右上角。
从下到上，从左到右。

5.推导dp，确定返回值。

最后一个出来的元素肯定是最右上角的元素，反想dp含义dp[i][j] 表示数组[i:j] 中的最长回文子序列的长度。

所以应该return dp[0][-1]

完整代码

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        # dp[i][j] 表示从i到j范围内的最长回文子序列
        

        dp = [[0 for _ in range(len(s))] for _ in range(len(s))]
        for i in range(len(s)):
            dp[i][i] = 1
        for i in range(len(s)-1,-1,-1):
            for j in range(i+1,len(s)):
                if s[i] == s[j]:

                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1][j])
                
        return dp[0][-1]