CCF-CSP 202312-2 因子化简

题目要求

‍⬛题目背景

质数（又称“素数”）是指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和它本身以外不再有其他因数的自然数。

‍⬛问题描述

小 P 同学在学习了素数的概念后得知，任意的正整数 $n$ 都可以唯一地表示为若干素因子相乘的形式。如果正整数 $n$ 有 $m$ 个不同的素数因子 $p_1,p_2,\cdot \cdot \cdot ,p_m$，则可以表示为：$n={p_1}^{t_1}\times {p_2}^{t_2}\times \cdot \cdot \cdot \times {p_m}^{t_m}$。

小 P 认为，每个素因子对应的指数 $t_i$ 反映了该素因子对于 $n$ 的重要程度。现设定一个阈值 $k$ ，如果某个素因子 $p_i$ 对应的指数 $t_i$ 小于 $k$ ，则认为该素因子不重要，可以将 ${p_i}^{t_i}$ 项从 $n$ 中除去；反之则将 ${p_i}^{t_i}$ 项保留。最终剩余项的乘积就是 $n$ 简化后的值，如果没有剩余项则认为简化后的值等于 $1$。

试编写程序处理 $q$ 个查询：

• 每个查询包含两个正整数 $n$ 和 $k$ ，要求计算按上述方法将 $n$ 简化后的值。

‍⬛输入格式

从标准输入读入数据。
输入共 $q+1$ 行。
输入的第一行包含一个正整数 $q$，表示查询的个数。
接下来 $q$ 行每行包含两个正整数 $n$ 和 $k$，表示一个查询。

‍⬛输出格式

输出到标准输出。
输出共 $q$ 行。
每行输出一个正整数，表示对应的查询结果。

‍⬛样例输入

3
2155895064 3
2 2
10000000000 10

‍⬛样例输出

2238728
1
10000000000

‍⬛样例解释

查询一：

• $n=2^3\times 3^2\times 23^4\times 107$
• 其中素因子 $3$ 指数为 $2$，$107$ 指数为 $1$。将这两项从 $n$ 中除去后，剩余项的乘积为 $n=2^3\times 23^4=2238728$。

查询二：

• 所有项均被除去，输出 $1$。

查询三：

• 所有项均保留，将 $n$ 原样输出。

‍⬛子任务

40%的测试数据满足：$n\le 1000$；
80%的测试数据满足：$n\le 10^5$；
全部的测试数据满足：$1<n\le 10^{10}$ 且 $1<k$，$q\le 10$。

问题解决

满分代码（含逐行代码解释）

C++

#include
using namespace std;

bool domains[100000001]; //domains布尔数组，用于标记数字是否为素数
int prime[100000001], tot; //prime整用于存储素数，tot用于记录素数的个数

void sieve(int n){ //筛法（Sieve）计算素数个数 
	for(int i = 2; i*i <= n; i++){ //筛法重要思想：从2开始，遍历到不大于n的平方根即可 
	/*
		对于大规模数组，适用于筛法求解，即for(int i=2; i*i<=n; i++)
		对于小规模数组，不适用于筛法求解，可用for(int i=2; i <=n; i++)
	*/
        if(domains[i] == false){ //如果domains[i]为 false，则表示i是素数，从素数2开始遍历，默认初始为false 
            prime[++tot] = i ; //如果i是素数，将 i 添加到素数数组prime中，并且素数数量tot加一
            for(int j = i; i*j <= n; j++) //对遍历到的每一个i，标记i的倍数必定不是素数
                domains[i*j] = true; //如果i是素数，将domains[i*j]设置为 true
        }
    }
	return;
}

int main()
{
	sieve(100000001); //首先利用筛法找出所有的素数 
	int q, k; 
	long long n; //注意这里的正整数n可能很大 
	cin >> q; //输入要处理的q个查询 
	for(int i = 0; i < q;i++){
		cin >> n >> k; //输入每个查询中的正整数n及阈值k
		long long result = 1, power = 0, temp = 1; //result表示最终结果，power表示素数的幂，temp表示中间素数乘积的结果 
		for(int i = 1; i <= tot; i++) //注意tot是从1开始计数的，所以这里只能从i=1开始遍历所有素数 
		{
			power = 0, temp = 1; //每次循环还是前将幂和中间结果乘积重置，这表示对每一个素数单独处理计算，这一点很重要！！！
			while(n % prime[i] == 0) //因为要把正整数n分解为众多素数的乘积，所以n是素数的整数倍时进入循环 
			{
				n = n / prime[i]; //更新除以该因数素数之后的n，也即因式分解过程 
				temp = temp * prime[i]; //更新该因数素数出现所有次数后的乘积，也即因式合成过程  
				power++; //该因数素数的幂加一 
			}
			if(power >= k) //如果当前素数prime[i]的出现次数（幂值）power大于等于阈值k
			result = result * temp; //最终结果累乘间素数乘积的结果
		}
		cout << result << endl;
	}
	return 0;
 }  

Python

'''
代码逻辑与C++完全相同，不再一一逐行赘述
'''
import numpy as np 
# 使用NumPy数组代替列表，并使用NumPy提供的函数处理筛选素数的过程

def sieve(n):
    domains = np.zeros(n+1, dtype=bool)
    prime = []
    for i in range(2, int(np.sqrt(n))+1):
        if not domains[i]:
            prime.append(i)
            domains[i*i:n+1:i] = True
    return prime

q = int(input())
primes = sieve(100000001)

for _ in range(q):
    n, k = map(int, input().split())
    result = 1
    for p in primes:
        power = 0
        while n % p == 0:
            n //= p
            power += 1
        if power >= k:
            result *= p ** power
    print(result)

场景拓展

本题代码可以用于解决以下问题：

• 求解素数：使用筛法（Sieve）计算指定范围内的素数，将其存储到数组中。
• 因式分解：将一个正整数分解为若干素数的乘积，可以在筛法求解素数的基础上实现。
• 素数幂次问题：给定一个正整数n和一个阈值k，找出n的因子中所有素数的幂次都不小于k的最小乘积。