[Python-动态规划]

动态规划

动态规划步骤总结：

1.确定dp数组以及下标的含义

2.确定递推公式

3.dp数组初始化

4.确定遍历顺序

5.举例推导dp数组，看是否与打印出的dp数组相同

509. 斐波那契数

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

解题思路

这个题是动态规划的入门题，为什么这么说呢？是因为题目已经把递推公式以及dp数组的初始化告诉我们了。因此，代码如下：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n == 1:
            return 1
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 0 #dp初始化
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] #递推公式
        return dp[n]

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

解题思路

这个题我第一次接触，感觉和动态规划沾不上边，但模拟一下过程还是能发现规律的。如下：

爬一个台阶有一种方法，爬两个台阶有两种方法，爬三个台阶是不是就是爬一个台阶时再爬两个台阶还有爬两个台阶时再爬一个台阶两种方法组成呢？因此，爬三个台阶就等于1+2.即爬一个台阶的方法数加上爬两个台阶的方法数。

明白了模拟过程，我们就可以确定一下dp数组了，dp[i]在这里表示爬到第i个台阶的方法数。递推公式根据上面的模拟过程即可推出：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。初始化就是我们已知的爬第一个台阶的方法数为1，爬第二个台阶的方法数为2，即dp[1] = 1 dp[2] = 2。因此代码如下：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return n
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

解题思路

首先要明确dp数组的含义：在此题中，dp数组应代表跳到第i个台阶中所需要的最小花费。

然后确定递推公式，继续模拟一下过程就可以知道，跳到第i个台阶可以从第i - 1个台阶跳一步，也可以从第i - 2个台阶跳两步，也就是说跳到第i个台阶的花费可以是跳到第i - 1个台阶的最小花费加上第i - 1个台阶处的花费，也可以是跳到第i - 2个台阶的最小花费加上第i - 2个台阶的花费。因此相应的dp[i]就需要取他们两个的最小值，即dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])。

后面再来考虑一下初始化dp数组。由题目可知，我们可以从下标为0或者下标为1的台阶开始爬楼梯，因此爬到第0个台阶与爬到第1个台阶的最小花费为0，因此dp[0] = 0, dp[1] = 0。

综合以上，可得代码如下：

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        #初始化dp数组
        dp = [0] * (len(cost) + 1)
        dp[0] = 0 #初始化为0的原因是dp数组的含义在此题中为爬到第0个台阶所需要的花费为0
        dp[1] = 0
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        return dp[len(cost)]

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

解题思路

这个题目给了个二维平面，那么我们对应的就可以初始化个二维的dp数组了。

首先先明确dp数组的含义。dp[i][j]代表从左上角走到第i - 1行第j - 1列一共有多少条路径。

然后确定递推公式。由题目可知，机器人每次只能向下或者向右移动一步，反过来也就是说，某个位置的路径数其实是其上一行对应位置的路径数加上其左一列对应位置的路径数。即dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

接下来再看如何初始化。已知机器人一开始位于[0, 0]的位置，因此dp[0][0] = 0，然后如果一直向右走呢？这其实是算一条路径，也就是说dp数组的第一行全部初始化为1，同理，第一列全部初始化为1.

遍历顺序这里其实先行还是先列都没有影响。因此代码如下：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)] #初始化二维数组
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        for i in range(n):
            dp[0][i] = 1
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m - 1][n - 1]