算法学习系列（二十七）：欧拉函数、欧拉定理、费马小定理

引言

本文主要介绍欧拉函数、线性筛法求欧拉函数，以及公式是怎样推导出来的，并且介绍了欧拉定理，以及费马小定理是怎样被推导出来的。

一、欧拉函数

1.概念

$欧拉函数\varphi (N)：$ 1 ~ N中与N互质的数的个数，（互质：公约数只有1的两个自然数）
$$N=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdot p_3^{{\alpha }_3}\cdot \cdots p_k^{{\alpha }_k},(p_i为质数)$$$$\varphi (N)=N\cdot (1-\frac{1}{1-p_1})\cdot (1-\frac{1}{1-p_2})\cdots (1-\frac{1}{1-p_k})$$

2.求每个数的欧拉函数

题目描述：

给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=pa11pa22…pamm，则：ϕ(N) = N×p1−1p1×p2−1p2×…×pm−1pm

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,1≤ai≤2×109

输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

int get_euler(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i <= n / i; ++i)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);  //为避免小数
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    
    if(n > 1) res = res / n * (n - 1);
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        
        int res = get_euler(a);
        printf("%d\n", res);
    }
    
    return 0;
}

二、线性筛法求欧拉函数

$$当i为质数：\varphi (i)=i-1$$
$$当imodprimes[j]=0,$$$$\varphi (i\ast primes[j])=i\ast primes[j]\ast (1-\frac{1}{1-p_1})\ast (1-\frac{1}{1-p_2})\cdots (1-\frac{1}{1-p_k})=primes[j]\ast \varphi (i)$$
$$当imodprimes[j]!=0,$$$$\varphi (i\ast primes[j])=i\ast primes[j]\ast (1-\frac{1}{1-p_1})\ast (1-\frac{1}{1-p_2})\cdots (1-\frac{1}{1-p_k})\ast (1-\frac{1}{1-primes[j]})=(primes[j]-1)\ast \varphi (i)$$

题目描述：

给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤106

输入样例：
6
输出样例：
12

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6+10;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

LL get_eulers(int n)
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if(!st[i])
        {
            phi[i] = i - 1;
            primes[cnt++] = i;
        }
        for(int j = 0; primes[j] * i <= n; ++j)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) res += phi[i];
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    LL res = get_eulers(n);
    printf("%lld\n", res);
    
    return 0;
}

三、欧拉定理，费马小定理

$$欧拉定理：若a与n互质，则a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$$$费马小定理：a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)（当p为质数，则\varphi (p)=p-1）$$