算法学习系列（二十八）：快速幂、逆元

引言

这个快速幂还是很重要的，算是一个比较基础的问题在数论里面，主要是为了降低时间复杂度用的，然后介绍了逆元的概念以及如何用快速幂来求。

一、快速幂概念

求$a^{k}modp$，一般就是累积$k$次，时间复杂度为$O(N)$
快速幂：先预处理出$a^{2^0},a^{2^1}{a}^{2^2}\cdots a^{2^{logk}}$，然后就根据位运算遍历每一位，累乘起来就行了，时间复杂度为$O(logN)$

二、代码模板

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    
    return res;
}

三、例题

1.快速幂模板题

题目描述：

给定 n 组  ai,bi,pi ，对于每组数据，求出 abiimodpi 的值。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi。

输出格式
对于每组数据，输出一个结果，表示 abiimodpi 的值。
每个结果占一行。

数据范围
1≤n≤100000,1≤ai,bi,pi≤2×109

输入样例：
2
3 2 5
4 3 9
输出样例：
4
1

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a, k, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &k, &p);
        
        LL res = qmi(a,k,p);
        printf("%lld\n", res);
    }
    
    return 0;
}

四、快速幂求逆元

$逆元：a\ast x\equiv 1(\mathrm{mod}p),则x称为amodp的逆元$

$$欧拉定理：若a与n互质，则a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$$$费马小定理：a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)（当p为质数，则\varphi (p)=p-1）$$
由上述定理可得：$a\ast a^{p-2}\equiv 1(\mathrm{mod}p),则a^{p-2}为amodp的逆元,(p为质数)$，所以本题实际求的就是$a^{p-2}modp$

题目描述：

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。
乘法逆元的定义若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 ab≡a×x(modm)，
则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤105,1≤ai,pi≤2∗109

输入样例：
3
4 3
8 5
6 3
输出样例：
1
2
impossible

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while(n--)
    {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        
        LL t = qmi(a, p - 2, p);
        if(a % p) printf("%lld\n", t);  //p为2，t为1，则需特判
        else puts("impossible");
    }
    
    return 0;
}