C++力扣题目 01背包理论基础

动态规划:01背包理论基础

本题力扣上没有原题,大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习,题意是一样的。

#思路

这周我们正式开始讲解背包问题!

背包问题的经典资料当然是:背包九讲。在公众号「代码随想录」后台回复:背包九讲,就可以获得背包九讲的pdf。

但说实话,背包九讲对于小白来说确实不太友好,看起来还是有点费劲的,而且都是伪代码理解起来也吃力。

对于面试的话,其实掌握01背包,和完全背包,就够用了,最多可以再来一个多重背包。

如果这几种背包,分不清,我这里画了一个图,如下:

C++力扣题目 01背包理论基础_第1张图片

至于背包九讲其他背包,面试几乎不会问,都是竞赛级别的了,leetcode上连多重背包的题目都没有,所以题库也告诉我们,01背包和完全背包就够用了。

而完全背包又是也是01背包稍作变化而来,即:完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包,一定要理解透!

leetcode上没有纯01背包的问题,都是01背包应用方面的题目,也就是需要转化为01背包问题。

所以我先通过纯01背包问题,把01背包原理讲清楚,后续再讲解leetcode题目的时候,重点就是讲解如何转化为01背包问题了

之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了,但只要把这个文章仔细看完,相信你会意外收获!

#01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

C++力扣题目 01背包理论基础_第2张图片

这是标准的背包问题,以至于很多同学看了这个自然就会想到背包,甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。

这样其实是没有从底向上去思考,而是习惯性想到了背包,那么暴力的解法应该是怎么样的呢?

每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是$o(2^n)$,这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!

在下面的讲解中,我举一个例子:

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

#二维dp数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

只看这个二维数组的定义,大家一定会有点懵,看下面这个图:

C++力扣题目 01背包理论基础_第3张图片

要时刻记着这个dp数组的含义,下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的,如果哪里看懵了,就来回顾一下i代表什么,j又代表什么。

  1. 确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义:从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

  1. dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。如图:

C++力扣题目 01背包理论基础_第4张图片

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下:

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步,如果把dp数组预先初始化为0了,这一步就可以省略,但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

此时dp数组初始化情况如图所示:

C++力扣题目 01背包理论基础_第5张图片

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了,那么其他下标应该初始化多少呢?

其实从递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了,那么 其他下标初始为什么数值都可以,因为都会被覆盖。

初始-1,初始-2,初始100,都可以!

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0,更方便一些。

如图:

C++力扣题目 01背包理论基础_第6张图片

最后初始化代码如下:

// 初始化 dp
vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

费了这么大的功夫,才把如何初始化讲清楚,相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的,但有时候感觉是不靠谱的

  1. 确定遍历顺序

在如下图中,可以看出,有两个遍历的维度:物品与背包重量

C++力扣题目 01背包理论基础_第7张图片

那么问题来了,先遍历 物品还是先遍历背包重量呢?

其实都可以!! 但是先遍历物品更好理解

那么我先给出先遍历物品,然后遍历背包重量的代码。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

先遍历背包,再遍历物品,也是可以的!(注意我这里使用的二维dp数组)

例如这样:

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

为什么也是可以的呢?

要理解递归的本质和递推的方向

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向(包括正上方向),那么先遍历物品,再遍历背包的过程如图所示:

C++力扣题目 01背包理论基础_第8张图片

再来看看先遍历背包,再遍历物品呢,如图:

C++力扣题目 01背包理论基础_第9张图片

大家可以看出,虽然两个for循环遍历的次序不同,但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角,根本不影响dp[i][j]公式的推导!

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

其实背包问题里,两个for循环的先后循序是非常有讲究的,理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了

  1. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值,如图:

C++力扣题目 01背包理论基础_第10张图片

最终结果就是dp[2][4]。

建议大家此时自己在纸上推导一遍,看看dp数组里每一个数值是不是这样的。

做动态规划的题目,最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下,然后在动手写代码!

很多同学做dp题目,遇到各种问题,然后凭感觉东改改西改改,怎么改都不对,或者稀里糊涂就改过了。

主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程,如果推导明白了,代码写出来就算有问题,只要把dp数组打印出来,对比一下和自己推导的有什么差异,很快就可以发现问题了。

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

本题力扣上没有原题,大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习,题意是一样的,代码如下:


//二维dp数组实现
#include 
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

#总结

讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完,这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了,推导公式估计看一遍就记下来了,但难就难在如何初始化和遍历顺序上

可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性,我们后面做力扣上背包面试题目的时候,大家就会感受出来了。

下一篇 还是理论基础,我们再来讲一维dp数组实现的01背包(滚动数组),分析一下和二维有什么区别,在初始化和遍历顺序上又有什么差异,敬请期待

 

动态规划:01背包理论基础(滚动数组)

本题力扣上没有原题,大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习

#思路

昨天动态规划:关于01背包问题,你该了解这些! (opens new window)中是用二维dp数组来讲解01背包。

今天我们就来说一说滚动数组,其实在前面的题目中我们已经用到过滚动数组了,就是把二维dp降为一维dp,一些录友当时还表示比较困惑。

那么我们通过01背包,来彻底讲一讲滚动数组!

接下来还是用如下这个例子来进行讲解

背包最大重量为4。

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

#一维dp数组(滚动数组)

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。

读到这里估计大家都忘了 dp[i][j]里的i和j表达的是什么了,i是物品,j是背包容量。

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

一定要时刻记住这里i和j的含义,要不然很容易看懵了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

  1. 一维dp数组的递推公式

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值,那么如何推导dp[j]呢?

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j])

此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值,

所以递归公式为:

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

可以看出相对于二维dp数组的写法,就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。

  1. 一维dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?

看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

那么我假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0就可以了。

  1. 一维dp数组遍历顺序

代码如下:

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

这里大家发现和二维dp的写法中,遍历背包的顺序是不一样的!

二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。

为什么呢?

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历,就可以保证物品只放入一次呢?

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了,为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢?

因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!

(如何这里读不懂,大家就要动手试一试了,空想还是不靠谱的,实践出真知!)

再来看看两个嵌套for循环的顺序,代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量,那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?

不可以!

因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖。

(这里如果读不懂,就再回想一下dp[j]的定义,或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试!)

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的!,这一点大家一定要注意。

  1. 举例推导dp数组

一维dp,分别用物品0,物品1,物品2 来遍历背包,最终得到结果如下:

C++力扣题目 01背包理论基础_第11张图片

C++代码如下:

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector weight = {1, 3, 4};
    vector value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

本题力扣上没有原题,大家可以去卡码网第46题 (opens new window)去练习,题意是一样的,代码如下:

// 一维dp数组实现
#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    // 读取 M 和 N
    int M, N;
    cin >> M >> N;

    vector costs(M);
    vector values(M);

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        cin >> costs[i];
    }
    for (int j = 0; j < M; j++) {
        cin >> values[j];
    }

    // 创建一个动态规划数组dp,初始值为0
    vector dp(N + 1, 0);

    // 外层循环遍历每个类型的研究材料
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        // 内层循环从 N 空间逐渐减少到当前研究材料所占空间
        for (int j = N; j >= costs[i]; --j) {
            // 考虑当前研究材料选择和不选择的情况,选择最大值
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - costs[i]] + values[i]);
        }
    }

    // 输出dp[N],即在给定 N 行李空间可以携带的研究材料最大价值
    cout << dp[N] << endl;

    return 0;
}

可以看出,一维dp 的01背包,要比二维简洁的多! 初始化 和 遍历顺序相对简单了。

所以我倾向于使用一维dp数组的写法,比较直观简洁,而且空间复杂度还降了一个数量级!

在后面背包问题的讲解中,我都直接使用一维dp数组来进行推导

#总结

以上的讲解可以开发一道面试题目(毕竟力扣上没原题)。

就是本文中的题目,要求先实现一个纯二维的01背包,如果写出来了,然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写?反过来写行不行?再讲一讲初始化的逻辑。

然后要求实现一个一维数组的01背包,最后再问,一维数组的01背包,两个for循环的顺序反过来写行不行?为什么?

注意以上问题都是在候选人把代码写出来的情况下才问的。

就是纯01背包的题目,都不用考01背包应用类的题目就可以看出候选人对算法的理解程度了。

相信大家读完这篇文章,应该对以上问题都有了答案!

此时01背包理论基础就讲完了,我用了两篇文章把01背包的dp数组定义、递推公式、初始化、遍历顺序从二维数组到一维数组统统深度剖析了一遍,没有放过任何难点。

大家可以发现其实信息量还是挺大的。

如果把动态规划:关于01背包问题,你该了解这些! (opens new window)和本篇的内容都理解了,后面我们在做01背包的题目,就会发现非常简单了。

不用再凭感觉或者记忆去写背包,而是有自己的思考,了解其本质,代码的方方面面都在自己的掌控之中。

即使代码没有通过,也会有自己的逻辑去debug,这样就思维清晰了。

接下来就要开始用这两天的理论基础去做力扣上的背包面试题目了,录友们握紧扶手,我们要上高速啦!

你可能感兴趣的:(c++,leetcode,数据结构,算法)