动态规划 43. 最长回文子序列

动态规划 43. 最长回文子序列

516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

代码随想录

难度 5 - 中等

太难了，依然不会做。看完题解只觉得恍然大悟原来如此，但是不看直接做就感觉定义和递推就跟挤牙膏一样挤不出，挤出来了也不一定对。

与动态规划 42. 回文子串-CSDN博客要形成对比

注意本题中，子序列的要求是：不一定连续

• 思路：（摘录、修改自代码随想录）

  1. dp定义：（重要，因为这道题求的是长度，而不是回文子序列个数，所以这么设置）

     ​​dp[i][j]​ ​ ：字符串​​s​​在​ ​[i, j]​ ​范围内最长的回文子序列的长度为​​dp[i][j]​ ​。

  2. 递推：（重要）

     在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]​与s[j]​是否相同。

     • 如果​​s[i]​ ​与​​s[j]​ ​相同，

       那么​​dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2​​ （增加了头和尾，所以长度增加2）

     • 如果​​s[i]​ ​与​​s[j]​ ​不相同，

       说明s[i]​和s[j]​的同时加入 并不能增加[i,j]​区间回文子序列的长度，

       那么分别加入​​s[i]​ ​ 、​​s[j]​ ​**看看哪一个可以组成最长的回文子序列。（重点）**

       加入s[j]​的回文子序列长度为dp[i + 1][j]​。

       加入s[i]​的回文子序列长度为dp[i][j - 1]​。

       那么​​dp[i][j]​ ​一定是取最大的，即：​​dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])​ ​ 。

     代码：

     if s[i] == s[j]: # 如果首尾相等，最长的回文子序列的长度增加2
         dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
     else: # 如果首尾不相等，则取去头或者去尾后的[i,j]区间内最大的最长回文子序列的长度
         dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
     

  3. dp初始化：（重要）

     首先要考虑当​​i​​和​​j​​相同的情况，

     从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2​可以看出，递推公式无法计算​i​​和​​j​​相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当​​i​​和​​j​​相同，那么​​dp[i][j]​ ​一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

     其他情况，

     ​​dp[i][j]​ ​初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])​ 中dp[i][j]​才不会被初始值覆盖。

     dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
     for i in range(len(s)): dp[i][i] = 1
     

  4. 遍历顺序：

     从递归公式中，可以看出，dp[i][j]​ 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ​，dp[i + 1][j]​ 和 dp[i][j - 1]​，

     **所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的**​。

     ​j​的话，可以正常从左向右遍历。

     代码如下：

     for i in range(len(s) - 1, -1, -1): # 行索引i，对应s索引i
         for j in range(i+1, len(s)): # 列索引j，对应s索引j
             if s[i] == s[j]: # 如果首尾相等，最长的回文子序列的长度增加2
                 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
             else: # 如果首尾不相等，则取去头或者去尾后的[i,j]区间内最大的最长回文子序列的长度
                 dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
     

• 代码：

  • 时间复杂度: O(n^2)
  • 空间复杂度: O(n^2)

  class Solution:
      def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
          # dp[i][j]：表示索引区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的s子串的最长的回文子序列的长度
          dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
          for i in range(len(s)): dp[i][i] = 1
  
          for i in range(len(s) - 1, -1, -1): # 行索引i，对应s索引i
              for j in range(i+1, len(s)): # 列索引j，对应s索引j
                  if s[i] == s[j]: # 如果首尾相等，最长的回文子序列的长度增加2
                      dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                  else: # 如果首尾不相等，则取去头或者去尾后的[i,j]区间内最大的最长回文子序列的长度
                      dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
  
          return dp[0][-1] # 注意返回值是索引区间为[0, len(s) -1]时的dp
  

至此，代码随想录中动态规划这一大章终于了结！！！

这么多天的狂做题目和狂写博客，希望能帮助我自己真正吃透动态规划吧。

（虽然其实现在肯定没有吃透来着，但是毕竟只是刷第一遍，所谓动态规划百题才能入门，这也才四五十题，还有机会！）