【洛谷 P1226】【模板】快速幂 题解（数学+递归+快速幂）

【模板】快速幂

题目描述

给你三个整数 $a,b,p$，求 $a^b\mathrm{mod}p$。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 $a,b,p$。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 $a,b,p$ 分别为题目给定的值， $s$ 为运算结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 10 9

样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

$2^{10}=1024$，$1024\mathrm{mod}9=7$。

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $0\le a,b<2^{31}$，$a+b>0$，$2\le p<2^{31}$。

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思路

快速幂算法的主要思想是将指数$b$进行分解，然后利用乘法的分配性质和取模的性质，将原问题转化为多个子问题的求解，从而大大提高了计算效率。

如果$b$是偶数，那么$a^b\mathrm{mod}p=(a^{b/2}\mathrm{mod}p{)}^2\mathrm{mod}p$；如果$b$是奇数，那么$a^b\mathrm{mod}p=(a^{b-1}\mathrm{mod}p)\times a\mathrm{mod}p$。这样，我们就可以将原问题不断分解为规模更小的子问题，直到$b$等于0，此时$a^0$等于1。

在计算大数的乘方时，结果往往会非常大，导致溢出。为了避免这种情况，在每一步计算中都取模。

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AC代码

#include 
#define ll long long
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

ll qpow(int a, int b, int p) {
	if (!b) {
		return 1;
	}
	if (b % 2 == 1) {
		return (qpow(a, b - 1, p) * a) % p;
	} else {
		ll tmp = qpow(a, b >> 1, p) % p;
		return (tmp * tmp) % p;
	}
	return 0;
}

int main() {
	int a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	ll ans = qpow(a, b, p);
	printf("%d^%d mod %d=%lld", a, b, p, ans);
	return 0;
}