【每日一题】最大合金数

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【二分枚举答案】【数组】【2024-01-27】

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题目来源

2861. 最大合金数

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解题思路

方法一：二分枚举答案

思路

如果我们可以制造 x 块合金，那么一定也可以制造 x-1 块合金。于是我们可以枚举可以制造的合金数量：

• 设 mid 为当前二分的答案；
• 如果可以在预算范围内可以制造 mid 块合金，那么更新二分范围的左边界，表示可以制造的合金可以再多一些；
• 如果不能在预算范围内制造 mid 块合金，那么更新二分范围的右边界。

那么当我们二分到 mid 时，如何判断是否可以制造 mid 块合金呢？

题目中有一条重要信息「所有合金都需要由同一台机器制造」，换言之如果使用某一台机器加工合金，那么其他所有合金都要由这台机器加工，中途不同换别的机器。于是我们可以枚举使用哪一台机器。对于使用第 i 台机器加工第 j 种合金，需要的金属为 $composition[i][j]\times mid$，当前已经拥有的金属数量为 $stock[j]$，因此还需要的预算为：

$$spend=maxcomposition[i][j]\times mid,0\times cost[j]$$

如果 spend <= budget 则可以在预算范围内可以制造 mid 块合金，否则不可以。

二分查找的上下限如何确定？

二分查找的下界可以设置为 0 或者 1，这取决于二分区间的开闭形式，这里二分的下界我设定为 0，表示可以加工的合金数最大值可以为 0。当然可以设置下界为 1，但是这时候的需要维护一个额外的变量 res 记录答案并且初始化 res = 0。

可以假设 composition[i][j] 和 cost[j] 都是 1，这样就可以计算出二分查找的上界为 min(stock) + budget。

关于二分查找的开闭形式，这篇文章 讲的比较清楚，可以参考。

算法

class Solution {
public:
    int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, vector>& composition, vector& stock, vector& cost) {
        int left = 0, right = ranges::min(stock) + budget;
        while (left <= right) {     // 二分的闭区间写法
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            bool isValid = false;
            for (int i = 0; i < k; ++i) {
                long long spend = 0;
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    spend += max(static_cast(composition[i][j]) * mid - stock[j], 0LL) * cost[j];
                }
                if (spend <= budget) {
                    isValid = true;
                    break;
                }
            }
            if (isValid) {
                left = mid + 1;
            }
            else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left-1;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(knlogU)$，$U=min(stock)+budget$。

空间复杂度：$O(1)$。

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写在最后

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