使用单调队列解决 “滑动窗口最大值” 问题

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前言

大家好，我是小彭。

在上一篇文章中，我们介绍了单调栈这种特殊的栈结构，单调栈是一种非常适合处理 “下一个更大元素问题” 的数据结构。今天，分享到单调栈的孪生兄弟 —— 单调队列（Monotonic Queue）。类似地，单调队列也是在队列的基础上增加了单调的性质（单调递增或单调递减）。那么单调队列是用来解决什么问题的呢？

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学习路线图：

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1. 单调队列的典型问题

单调队列是一种用来高效地解决 “滑动窗口最大值” 问题的数据结构。

举个例子，给定一个整数数组，要求输出数组中大小为 K 的窗口中的最大值，这就是窗口最大值问题。而如果窗口从最左侧逐渐滑动到数组的最右端，要求输出每次移动后的窗口最大值，这就是滑动窗口问题。这个问题同时也是 LeetCode 上的一道典型例题：LeetCode · 239. 滑动窗口最大值

LeetCode 例题

这个问题的暴力解法很容易想到：就是每次移动后遍历整个滑动窗口找到最大值，单次遍历的时间复杂度是 $O(k)$，整体的时间复杂度是 $O(n\cdot k)$，空间复杂度是 $O(1)$。当然，暴力解法里的重复比较运算也是很明显的，我们每次仅仅往窗口里增加一个元素，都需要与窗口中所有元素对比找到最大值。

那么，有没有更高效的算法呢？

滑动窗口最大值问题

或许，我们可以使用一个变量来记录上一个窗口中的最大值，每增加一个新元素，只需要与这个 “最大值” 比较即可。

然而，窗口大小是固定的，每加入一个新元素后，也要剔除一个元素。如果剔除的元素正好是变量记录的最大值，那说明这个值已经失效。我们还是需要花费 $O(k)$ 时间重新找出最大值。那还有更快的方法寻找最大值吗？

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2. 解题思路

我们先用 “空间换时间” 的通用思路梳理一下：

在暴力解法中，我们每移动一次窗口都需要遍历整个窗口中的所有元素找出 “滑动窗口的最大值”。现在我们不这么做，我们把滑动窗口中的所有元素缓存到某种数据容器中，每次窗口滑动后也向容器增加一个新的元素，而容器的最大值就自然是滑动窗口的最大值。

现在，我们的问题已经发生转变，问题变成了：“如何寻找数据容器中的最大值”。 另外，根据题目条件限制，这个容器是带有约束的：因为窗口大小是固定的，所以每加入一个新元素后，必然也要剔除一个元素。 我们的数据容器也要满足这个约束。 现在，我们把注意力集中在这个容器上，思考一下用什么数据结构、用什么算法可以更高效地解决问题。由于这个容器是我们额外增加的，所以我们有足够的操作空间。

先说结论：

• 方法 1 - 暴力： 遍历整个数据容器中所有元素，单次操作的时间复杂度是 $O(k)$，整体时间复杂度是 $O(n\cdot k)$；
• 方法 2 - 二叉堆： 不需要遍历整个数据容器，可以用大顶堆维护容器的最大值，单次操作的时间复杂度是 $O(lgk)$，整体时间复杂度是 $O(n\cdot lgk)$；
• 方法 3 - 双端队列： 我们发现二叉堆中很多中间元素是冗余的，拉低了效率。我们可以在每处理一个元素时，可以先观察容器中刚刚加入的元素，如果刚刚加入的元素小于当前元素，则直接将其丢弃（后进先出逻辑）。最先加入容器的元素，如果超出了滑动窗口的范围，也直接将其丢弃（先进先出逻辑）。所以这个容器数据结构要用双端队列实现。因为每个元素最多只会入队和出队一次，所以整体的计算规模还是与数据规模成正比的，整体时间复杂度是 $O(n)$。

下面，我们先从优先队列说起。

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3. 优先队列解法

寻找最值的问题第一反应要想到二叉堆。

我们可以维护一个大顶堆，初始时先把第一个滑动窗口中的前 $k-1$ 个元素放入大顶堆。滑动窗口每移动一步，就把一个新的元素放入大顶堆。大顶堆会自动进行堆排序，堆顶的元素就是整个堆中 $k$ 个元素的最值。然而，这个最大值可能是失效的（不在滑动窗口的范围内），我们要怎么处理这个约束呢？

我们可以用一个小技巧：将元素的下标放入队列中，用 nums[index] 比较元素大小，用 index 判断元素有效性。 此时，每次取堆顶元素时，如果发现该元素的下标超出了窗口范围，就直接丢弃。

题解

class Solution {
    fun maxSlidingWindow(nums: IntArray, k: Int): IntArray {
        // 结果数组
        val result = IntArray(nums.size - k + 1) {-1}
        // 大顶堆
        val heap = PriorityQueue<Int> { first, second ->
            nums[second] - nums[first]
        }
        for (index in nums.indices) {
            if (index < k - 1) {
                heap.offer(index)
                continue
            }
            heap.offer(index)
            // while：丢弃堆顶超出滑动窗口范围的失效元素
            while (!heap.isEmpty() && heap.peek() < index - k + 1) {
                // 丢弃
                heap.poll()
            }
            // 堆顶元素就是最大值
            result[index - k + 1] = nums[heap.peek()]
        }
        return result
    }
}

我们来分析优先队列解法的复杂度：

• 时间复杂度： 最坏情况下（递增序列），所有元素都被添加到优先队列里，优先队列的单次操作时间复杂度是 $O(lgn)$，所以整体时间复杂度是 $O(n\cdot lgn)$；
• 空间复杂度： 使用了额外的优先级队列，所以整体的时间复杂度是 $O(n)$。

优先队列解法的时间复杂度从 $O(n\cdot k)$ 变成 $O(n\cdot lgn)$，这个效果很难让人满意，有更好的办法吗？

我们继续分析发现，由于滑动窗口是从左往右移动的，所以当一个元素 $nums[i]$ 的后面出现一个更大的元素 $nums[j]$，那么 $nums[i]$ 就永远不可能是滑动窗口的最大值了，我们可以永久地将它剔除掉。然而，在优先队列中，失去价值的 $nums[i]$ 会一直存储在队列中，从而拉低了优先队列的效率。

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4. 单调队列解法

我们可以维护一个数据容器，第一个元素先放到容器中，后续每处理一个元素，先观察容器中刚刚加入的元素，如果刚刚加入的元素小于当前元素，则直接将其丢弃（因为新增加的元素排在后面，会更晚地离开滑动窗口，所以中间的小元素永远没有资格了），避免拉低效率。

继续分析我们还发现：

• 这个数据容器中后进入的元素需要先弹出与当前元素对比，符合 “后进先出” 逻辑，所以这个数据结构要用栈；
• 这个数据容器中先进入的元素需要先弹出丢弃（离开滑动窗口），符合 “先进先出” 逻辑，所以这个数据结构要用队列；

因此，这个数据结构同时具备栈和队列的特点，是需要同时在两端操作的双端队列。这个问题也可以形象化地思考：把数字想象为有 “重量” 的的杠铃片，滑动窗口每移动一次后，新增加的大杠铃片会把中间小的杠铃片压扁，后续不再考虑它们。

形象化思考

题解

class Solution {
    fun maxSlidingWindow(nums: IntArray, k: Int): IntArray {
        // 结果数组
        val result = IntArray(nums.size - k + 1) { -1 }
        // 单调队列（基于双端队列）
        val queue = LinkedList<Int>()
        for (index in nums.indices) {
            // while：队尾元素比当前元素小，说明队尾元素不再可能是最大值，后续不再考虑它
            while (!queue.isEmpty() && nums[queue.peekLast()] <= nums[index]) {
                // 抛弃队尾元素
                queue.pollLast()
            }
            queue.offerLast(index)
            if (index < k - 1) {
                continue
            }
            // if：移除队头超出滑动窗口范围的元素
            if (!queue.isEmpty() && queue.peekFirst() < index - k + 1) {
                queue.pollFirst()
            }
            // 从队头取目标元素
            result[index - k + 1] = nums[queue.peekFirst()]
        }
        return result
    }
}

单调队列与单调栈的思路是非常类似的，单调栈在每次遍历中，会将栈顶 “被压扁的小杠铃片” 弹出栈，而单调队列在每次遍历中，会将队尾中 “被压扁的小杠铃片” 弹出队。 单调栈在栈顶过滤无效元素，在栈顶获取目标元素，单调队列在队尾过滤无效元素，在队头获取目标元素。

理解了单调队列的解题模板后，我们来分析它的复杂度：

• 时间复杂度： 虽然代码中有嵌套循环，但它的时间复杂度并不是 $O(n^2)$，而是 $O(n)$。因为每个元素最多只会入栈和出栈一次，所以整体的计算规模还是与数据规模成正比的，整体时间复杂度是 $O(n)$；
• 空间复杂度： 最坏情况下（递增序列），所有元素被添加到队列中，所以空间复杂度是 $O(n)$。

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5. 单调栈、单调队列、优先队列对比

5.1 单调栈与单调队列的选择

单调队列和单调栈在很大程度上是类似的，它们均是在原有数据结构的基础上增加的单调的性质。那么，什么时候使用单调栈，什么时候使用单调队列呢？ 主要看你的算法中元素被排除的顺序，如果先进入集合的元素先排除，那么使用栈（LIFO）；如果先进入集合的元素后排除，那么使用队列（FIFO）。 在例题中，甚至出现了同时结合栈和队列的情况。

上一篇文章里我们讨论过单调栈，单调栈是一种非常适合解决 ”下一个更大元素“ 的数据结构。在文章最后我也指出，单调栈的关键是 “单调性”，而不是 “栈”。我们学习单调栈和单端队列，应该当作学习单调性的思想在栈或者队列上的应用。

我们已经不是第一次讨论 “单调性” 了，老读者应该有印象，在讨论二分查找时，我们曾经指出 “单调性是二分查找的必要条件”。举个例子，对于一个单调递增序列，当中位数小于目标数时，那我们可以确定：左半区间一定不是解，右半区间可能有解，问题规模直接缩小一半。最终整个二分查找算法的时间复杂度从暴力查找 $O(n)$，降低到 $O(lgn)$。反之，如果数据并不是单调的，那么跟中位数比较就没有意义。

5.2 优先队列与单调队列对比

优先队列也叫小顶堆或大顶堆，每从堆顶取一个数据，底层的二叉堆会自动进行堆排序，保持堆顶元素是整个堆的最值。所以，虽然整个堆不是单调的，但堆顶是动态单调的。优先队列虽然也叫队列，但它并不能维护元素的位置关系，出队顺序和入队顺序无关。

数据结构	特点	单调性 / 有序性
单调栈	后进先出（LIFO），出队顺序由入栈顺序决定	静态
单调队列	先进先出（FIFO），出队顺序由入队顺序决定	静态单调序列
优先队列	出队顺序与入队顺序无关，而由优先级顺序决定	整个堆不是单调的，但堆顶是动态单调的

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6. 总结

到这里，单调队列和单调栈的内容都讲完了。和单调栈一样，除了典型例题之外，大部分题目会将 “滑动窗口最大值素” 的语义隐藏在题目细节中，需要找出题目的抽象模型或转换思路才能找到，这是难的地方。

还是那句话，学习单调队列和单调栈，应该当作学习单调性的思想在这两种数据结构上的应用。你觉得呢？

更多同类型题目：

单调队列	难度	题解
239. 滑动窗口最大值	Hard	【题解】
918. 环形子数组的最大和	Medium	【题解】
面试题59 - II. 队列的最大值	Medium	【题解】

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参考资料

• LeetCode 专题 · 单调队列 —— LeetCode 出品
• LeetCode 题解 · 239. 滑动窗口最大值 —— LeetCode 出品
• LeetCode 题解 · 239. 单调队列解题详解 —— labuladong 著