立体几何新教材回顾200515

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的。

基本事实1：

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面。

基本事实2：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

基本事实3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、点与直线位置关系：

在直线上或不在直线上

2、直线与直线位置关系

共面直线：
相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

3、空间中直线与平面的位置关系

（1）直线在平面内：有无数个公共点
（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点
（3）直线与平面平行：没有公共点
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外。

4、空间中平面与平面的位置关系

两个平面平行：没有公共点
两个平面相交：有一条公共直线

8.5 空间直线、平面的平行

8.5.1直线与直线平行

基本事实4

平行于同一条直线的两条直线平行

8.5.2直线与平面平行

定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行

8.5.3平面与平面平行

定理

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

定理

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1 直线与直线垂直

image.png

如图8.6.2，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分布做a‘∥a，b’∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b

当两条直线a，b互相平行时，我们规定他们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是[0°,90°]

8.6.2直线与平面垂直

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，他们唯一的公共点p叫做垂足。

image.png

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。

定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做直线到这个平面的距离。
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

8.6.3平面与平面垂直

如果8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形角做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

image.png

如图8.6-23，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。

image.png

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。