寒假思维训练day13 D. Umka and a Long Flight

 寒假思维训练Day13

今天更新一道1700的构造题，附上详细的数学证明和Python、C++代码。

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摘要：

题目链接：有需要自取，Problem - 1811D - Codeforces

part1：题意

part2:  题解 (附带数学推导，latex版本)

part3:  代码(py + cpp) 

part4: 对构造题的一些总结心得和对应例题。

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Part1  题意：Problem - 1811D - Codeforces

1、符号说明：

设 为斐波那契数列的第项，满足

2、题意：

给定一个，有一个矩形高度为，长度为，要求将其分割成个长度为斐波那契数的正方形，其中还给定一个，使得第行和第列必须是一个长度为的正方形，并且要满足相同的正方形个数最多为两个，问最后能否将其分割成个长度为斐波那契数的正方形，能输出"YES",否则输出"NO"。

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Part2  题解：

LaTex格式的推导，加上详细的文字说明和相对严谨的语言。

1、已知，矩形的高为,长为

2、假设为某一项斐波那契数，矩形的长的左边界为，右边界为，宽的上边界为，下边界为，记成比较清楚, 表示此位置上面的长度为1的正方形
3、要将矩形分割成块斐波那契正方形, 可以对面积进行抽象, 

对较大项不断进行拆解，使得

4、得到结论：，显然满足题目要求的性质，也符合面积的划分性质，我们依此继续往下推导。

5、我们假设从最大的开始从大到小划分正方形位置，我们来考虑一下这个划分位置策略的正确性：
假设随意分割好了满足条件的个正方形，那么对于最大的，假如不在两侧，在中间，两边的长度之和为它们单独拿出来一定小于，此时无法构造，矛盾，接下来我们按照这个策略进行讨论。
先考虑最初的矩形，刚开始长边是, 高是, 所以要么是方向保持不变，方向上要么是 此处前部分是剩下的，后部分是给正方形的; 要么是 ,与前面相反，同时我们应该满足位置的正方形应该只在一边才行，假设两边都占有的部分，此时该长度的正方形显然无法分配位置了，如果两种划分方式有一种可以满足条件就选择那种，并且继续往存在的位置递归，最终如果递归到，按照该策略必然有解，而且能构造出答案。
6、推导完成。

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Part3:  代码部分（包含python代码和cpp代码）

代码思路在题解中。

1、Python: 发现了python的一个神奇的地方，python的递归栈是很慢的，在C++代码我写了递归，但是在python这边写一样的方法会TLE, 我改成循环就通过了，这以后将是python编程优化的一个考虑方向。

def dfs(xs, xe, ys, ye, x, y, c, t, n):
    while c < n:
        if ye - ys > xe - xs:
            f1 = x >= xs and x <= xe and y >= ys and y <= ye - fb[t]
            f2 = x >= xs and x <= xe and y >= ys + fb[t] and y <= ye
            if f1 and not f2:
                xe, ye, t, c = xe, ye - fb[t], t - 1, c + 1
            elif not f1 and f2:
                xs, ys, t, c = xs, ys + fb[t], t - 1, c + 1
            else: break
        else:
            f1 = x >= xs and x <= xe - fb[t] and y >= ys and y <= ye
            f2 = x >= xs + fb[t] and x <= xe and y >= ys and y <= ye
            if f1 and not f2:
                xe, ye, t, c = xe - fb[t], ye, t - 1, c + 1
            elif not f1 and f2:
                xs, ys, t, c = xs + fb[t], ys, t - 1, c + 1
            else: break
    return c == n

def solve():
    n, x, y = map(int, input().strip().split())
    h, k = fb[n], fb[n + 1]
    if dfs(1, h, 1, k, x, y, 0, n, n):
        print("YES")
    else:
        print("NO")

ts = int(input())
fb = [0] * 50
fb[0] = fb[1] = 1
for i in range(2, 46):
    fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2]

for _ in range(ts):
    solve()

1、CPP: 递归

#include 
#define int long long 
using namespace std;
using PII = pair; 
constexpr int N = 100; 
constexpr int inf = 0x3f3f3f3f; 
int n, m; 
int fb[N]; 
bool flag; 
void dfs(int xs, int xe, int ys, int ye, int x, int y, int c, int t) {
    if(c == n) {
        flag = true;
        return;
    }  
    if(flag) return; 
    if(ye - ys > xe - xs) { // 列 > 行 
        if(flag) return;
        bool f1 = x >= xs && x <= xe && y >= ys && y <= ye - fb[t], 
        f2 = x >= xs && x <= xe && y >= ys + fb[t] && y <= ye;
        if(f1 && !f2) dfs(xs, xe, ys, ye - fb[t], x, y, c + 1, t - 1);
        else if(!f1 && f2) dfs(xs, xe, ys + fb[t], ye, x, y, c + 1, t - 1); 
    }
    else {
        if(flag) return;
        bool f1 = x >= xs && x <= xe - fb[t] && y >= ys && y <= ye, 
        f2 = x >= xs + fb[t] && x <= xe && y >= ys && y <= ye; 
        if(f1 && !f2) dfs(xs, xe - fb[t], ys, ye, x, y, c + 1, t - 1); 
        else if(!f1 && f2) dfs(xs + fb[t], xe, ys, ye, x, y, c + 1, t - 1); 
    }
} 

void solve() {
    flag = 0; 
    int x, y; 
    cin >> n >> x >> y; 
    int h = fb[n], k = fb[n + 1];
    dfs(1, h, 1, k, x, y, 0, n);
    if(flag) puts("YES"); 
    else puts("NO"); 
    
}
signed main() {
    fb[0] = fb[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 45; i ++ ) fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];  
    int ts; 
    cin >> ts; 
    while(ts --) solve(); 
    return 0; 
}

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Part4:  对构造题的一些总结心得和对应例题。

1、前后缀贪心模型，比如说观察前后缀的sum，去看以后怎么考虑最好。Problem - 1903C - Codeforces

2、双指针贪心模型，考虑两端相消或者相互作用，还有就是考虑左右边界。   Problem - 1891C - Codeforces

Problem - 1907D - Codeforces

3、转换观察法模型，有些关系可以抽象成图，观察图的某些性质去总结规律。也可以抽象成一个集合，两个集合相等可以说明有解可构造。Problem - 1891C - Codeforces

4、打表找规律模型，一般没什么规律可循即可打表找规律，一般和数论有关的很喜欢考，acm也喜欢考，属于人类智慧题。Problem - 1916D - Codeforces

5、公式推导演算模型，常见的分为公式的等价变形、公式的化简（这个常考，一般需要先证明某些性质，可以直接抵消，一般如果原公式处理起来很复杂时就可以考虑）。Problem - 1889B - Codeforces

6、考虑奇偶数去简化问题或者分类问题模型，从其中的一些运算性质入手，因为奇数偶数的加减以及%运算（这个结论很重要）的结果的奇偶性是固定的，Problem - 1898C - Codeforces

7、根据性质构造模型，看看能不能分成几个块，几个不同的集合，再选择算法去解决。Problem - 1873G - Codeforces

8、考虑从小到大处理模型，或者是从大到小处理，有时候先处理小的对大的不会有影响，或者反过来，这样的处理顺序是最完美的。Problem - 1904D2 - Codeforces

9、边界贪心法模型，一般要在问题的最边界处考虑，有时候这样做结果是最优的，或者考虑边界上的影响，假如让影响最小，就使得影响<= 固定值 。 ​​​​​​Problem - E - Codeforces and Problem - 1903C - Codeforces

Problem - D - Codeforces

上面的题目用到了9、边界贪心法模型。

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