寒假思维训练计划day14 A. The Very Beautiful Blanket

寒假思维训练计划day14

今天做了一道很妙的矩阵构造题, 很有收获，而且是有关于异或运算的。题目链接，有需自取：Problem - A - Codeforces

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摘要:

part1 题意

part2 题解 （有数学推导和矩阵举例）

part3 代码(python代码) 

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Part1 题意：Problem - A - Codeforces

题意：

给定n和m()，要求构造一个矩阵满足每个4 * 4的矩阵，满足左上角2 * 2的矩阵所有值的异或等于右下角，右上角的所有值的异或等于左下角，元素的值必须满足小于且大于等于0 ，先输出最大的不同元素的个数，再输出矩阵。

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Part2 题解：

题解：

以后遇到矩阵构造，可以多往递推、打表、循环构造思考。

1、我们先来看一下异或有什么性质(下面会用到):

性质1:奇数奇数 = 偶数
性质2:奇数偶数 = 奇数 

性质3:偶数偶数 = 偶数  

性质4:满足交换律和结合律

2、对于任意一个2 * 2的矩阵：，先这样构造，其中1为奇数，0为偶数，我们构造任意一个2 * 2的矩阵都是偶数异或奇数，此时要使所有的2 * 2矩阵满足异或值为1，我们先确定最开始的2 * 2矩阵：, 即 ，现在我们继续观察让相邻矩阵怎么样能等价这样可以实现递推，假设两个相邻的矩阵, 

, 此时对于c和d，我们同时加一个不存在a,b当中的一个二进制位假设是， 这样子c和d就能抵消掉这个二进制位实现，假设再往后我们再加同一个二进制位可以实现吗，我们可以看看矩阵的递推变化：
假设我们把值按这样的方式递推：, 我们发现随着递推进行，每个2 * 2矩阵好像都满足异或值为1，最后我们先用把第1、2行确定，再从第3行这样用递推，最终一定满足每个矩阵的异或是1，
因为第一二行是统一从左往右递推，第三行到第n行是从上往下递推，对于第一、二一定是
满足上下元素拥有增加的二进制位可以抵消，对于第二行开始往下看，一定有两个左右元素用有，也能相消，所以拥有这种性质，可以构造每个2 * 2矩阵异或值等于任何数，只要能找到满足不冲突的
也就是（这是一个例矩阵）:

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Part3 代码(python代码)：

import math 
T = int(input()) 
n, m = 0, 0 
while T != 0:
    n, m = map(int, input().strip().split(' '))
    us = [[0] * (m + 2) for i in range(n + 2)]        
    c = 0 
    #先构造第一个2 * 2的矩阵
    us[1][1] = 2 ^ 4 ^ 6 ^ 1
    us[1][2] = 2 
    us[2][1] = 4
    us[2][2] = 8 
    # 构造第一二行是从左往右递推的。
    for i in range(3, m + 1, 2):
        us[1][i] = us[1][i - 2] + (1 << 5) 
        us[1][i + 1] = us[1][i - 1] + (1 << 5) 
        us[2][i] = us[2][i - 2] + (1 << 5) 
        us[2][i + 1] = us[2][i - 1] + (1 << 5) 
    # 构造第三行开始从上往下递推。
    for i in range(3, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            us[i][j] = us[i - 2][j] + (1 << 16) 
    print(n * m) 
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            print(us[i][j], end = ' ') 
        print()
    T -= 1