被遗忘在角落的死小孩
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线性代数1.3行列式的按行展开

1.3按行展开

余子式

去掉行列式指定元素所在行，所在列，剩下的元素按原来的方式排列，得到的行列式就是余子式，记作M

M32是因为2这个元素原本在第三行第二列

线性代数1.3行列式的按行展开_第1张图片

代数余子式

代数余子式跟余子式类似，但是差别在于，代数余子式多了符号，-1的系数与行列之和有关
线性代数1.3行列式的按行展开_第2张图片

按行展开

行列式按某一行（列）展开，等于每一行（列）对应的元素乘以对应（自己）的代数余子式之和
线性代数1.3行列式的按行展开_第3张图片
例如：下面的行列式按照第一行展开，等于下面三个代数余子式相加，为了方便计算，肯定展开
线性代数1.3行列式的按行展开_第4张图片

异乘变零定理

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和 = 0
线性代数1.3行列式的按行展开_第5张图片

拉普拉斯展开定理

k阶子式：如下面那个行列式为例，若要取这两行的二阶子式则任取两行两列，重叠的地方称为2阶子式

k阶子式的余子式：如下面那个行列式为例，没有被画到线的地方就叫k阶子式的余子式

k阶子式的代数余子式：与上相比，仍是多了符号，-1的指数来自取的第几行第几列，如下面取的是第一行和第二行，第一列和第二列，所以是1+2+1+2
线性代数1.3行列式的按行展开_第6张图片

拉普拉斯展开定理

去掉k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和 = D

因为只确定了行，没有确定列，所以取法有很多，在某些条件下，拉普拉斯展开定理比较好用，如下
线性代数1.3行列式的按行展开_第7张图片

相乘规则

与矩阵相乘类似，但两个不同阶的行列式相乘也是能算出来的，因为行列式本身就是一个数，数与数相乘一定能算出来，不同阶的行列式分别算出这两数再相乘就好了
线性代数1.3行列式的按行展开_第8张图片

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