奥数 阶幻方简介
介绍:
幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。
幻方也是一种中国传统游戏，宋代数学家杨辉称之为纵横图。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
幻方种类
完全幻方
完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等
乘幻方
乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。
高次幻方
n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。例子：（三阶幻方，幻和为15，如下）
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。
反幻方
反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，其中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。
解法
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形：
最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式）
1、 N 为奇数时，最简单：
⑴ 将1放在第一行中间一列；
⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右下
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最上一行，列数同样加1;
⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的上面。
2、 N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。
Java实现
public class MagicSquare {
public static void main(String[] args) {
int n = 3;
int[][] magicSquare = new int[n][n];
int row = 0;
int col = n / 2;
// 填充幻方
for (int i = 1; i
magicSquare[row][col] = i;
int nextRow = (row - 1 + n) % n;
int nextCol = (col + 1) % n;
if (magicSquare[nextRow][nextCol] != 0) {
row = (row + 1) % n;
} else {
row = nextRow;
col = nextCol;
}
}
// 打印幻方
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.print(magicSquare[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
}
}
最后：幻方还可以紧密联系到八卦图也就是奇门遁甲的后天八卦