数学价值1-叉乘法判断点是否在三角形内

叉乘法

是一种用于判断点是否在三角形内的高效算法。该算法沿着三角形的边按顺时针方向走，通过叉乘判断点是否在每条边的右侧。这一方法避免了除法运算和三角函数、开根号等运算，因此具有高效和精确的优点，避免了浮点误差的问题。

以三个三角形的顶点 ，B(x2, y2)，C(x3, y3) 和已知点 M(x, y) 为例：

1. 首先求出三个向量 MA，MB，MC。

2. 计算 MA 叉乘 MB，MB 叉乘 MC，MC 叉乘 MA。

3. 如果这三组叉乘的结果都是同号（都正或都负），即方向相同，则说明点 M 在三角形的每条边的同侧，即在三角形内部。否则，点 M 在外部。

预备知识：

向量计算

在计算 MA 向量时，使用了点 A(x1, y1) 减去点 M(x, y) 的坐标差。这是因为向量表示的是从一个点到另一个点的位移，而 MA 向量即为从点 M 指向点 A 的位移向量。

向量 MA 的计算公式为：

这表示了从点 A 到点 M 在 x 和 y 方向上的位移。通过坐标相减，可以得到一个以点 A 为起点、点 M 为终点的向量。

叉乘计算

叉乘（Cross Product）是向量运算中的一种运算，其结果是一个新的向量，垂直于参与运算的两个向量。对于二维平面上的两个向量 ，它们的叉乘  得到的是一个新的向量。

在具体的计算中，对于两个二维向量  和  的叉乘计算公式如下：

具体示例如下：

假设三角形的顶点为 A(0, 3)，B(0, 0)，C(3, 0)，并已知点 M(1, 1)：

• 向量 MA 为 (-1, 2)
• 向量 MB 为 (-1, -1)
• 向量 MC 为 (2, -1)

计算叉乘结果：

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由于三组叉乘结果都是正号，说明点 M 在三角形内。

另外，以点 N(3, 3) 为例，向量 NA 为 (-3, 0)，NB 为 (-3, -3)，NC 为 (0, -3)：

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由于这三组叉乘结果不是同号，说明点 N 在三角形外。

结论：

这一算法能够有效判断点是否在三角形内，具有广泛的应用。