笔记--扩展欧几里得算法

AcWing.877.欧几里得算法
给定 $n$ 对正整数 $a$_i,$b$_i，对于每对数，求出一组 $x$_i,$y$_i，使其满足 $a$_i$\times x$_i$+b$_i$\times y$_i$=gcd(a$_i$,b$_i$)$。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a$_i,$b$_i。

输出格式
输出共 $n$ 行，对于每组 $a$_i,$b$_i，求出一组满足条件的 $x$_i,$y$_i，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x$_i,$y$_i 均可。

数据范围
$1\le n\le 105,1\le a$_i,$b$_i$\le 2\times 109$

输入样例：

4 6
8 18

输出样例：

-2 1

#include
using namespace std;

int gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (!b) {
		return a;
	}
	int d = gcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;;
	return d;
}

int main() {
	int n; cin >> n;
	while (n--) {
		int a, b, x, y; cin >> a >> b;
		gcd(a, b, x, y);
		cout << x << ' ' << y << endl;
	}
	return 0;
}

应用：

AcWing.878.线性同余方程
给定 $n$ 组数据 $a$_i,$b$_i,$m$_i，对于每组数求出一个 $x$_i，使其满足 $a$_i$\times x$_i$\equiv b$_i$(modmi)$，如果无解则输出 $impossible$。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一组数据 $a$_i,$b$_i,$m$_i。

输出格式
输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x$_i，如果无解则输出 $impossible$。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 $int$ 范围之内。

数据范围
$1\le n\le 105,1\le a$_i,$b$_i$,m$_i$\le 2\times 10$⁹

输入样例：

2 3 6
4 3 5

输出样例：

-3

如果$ax\equiv b(modm)$,那么就有$ax=my+b$，则存在$ax+my=b$，则我们需要存在这样的$x$和$m$，则只要$b$能够整除$a$和$m$的最大公约数，就有解

#include
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
	if (!b) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

int main() {
	int n; cin >> n;

	while (n--) {
		int a, b, m;
		cin >> a >> b >> m;
		int x, y;
		int d = exgcd(a, m, x, y);
		if (b % d) cout << "impossible" << endl;
		else printf("%d\n",(long long)x*(b/d)%m);
	}
	return 0;
}