立体几何之目：2021年理数全国卷A题19

2021年理数全国卷A题19

分值：12分

已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，， 分别为 和 的中点， 为棱 上的点， .

（1）证明：;

（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?

2021年全国卷A题19

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【解答第1问】

作 中点 , 并连接 .

∵ 是直三棱柱，

∴ 是矩形;

又∵ , ∴ 是正方形.

∵ 分别是 的中点， 是正方形,

∴ ,

∴ ,

又∵

∴

∴ .

∴ ,

,

∴ 平面

∵ 分别是 的中点， 是正方形,

∴ ,

∴ 四点共面,

平面 ,

∴ . 证明完毕.

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【解答第1问】

在前节已经证明：

∵

∴ 平面

综上可知： 两两垂直.

以点 为原点， 为 轴建立直角坐标系.

各点坐标如下：

设点 的坐标为 , 则

,

,

令

是平面 的法向量, 而平面 的法向量

当 , 取得最小值，

也就是说，当 时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小.

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【提炼与提高】

问题 1 的解答涉及垂直关系的转化：欲证线线垂直，先证线面垂直；欲证线面垂直，先证线线垂直。

值得注意的有两点：

（1） 是中点， 是正方形，所以 . 这是平面几何中的一个常用结论.

（2）直线 平面 , 是证明过程中的一个关键条件，但在已知条件中并未给出，需要自己论证. 假如缺了这一环节，在证得 平面 后就得出结论 , 是不严格的.

问题 2 的解答中，用向量的外积计算法向量，是计算量较小的方法。假如用内积列方程，也是可以的.

【参考资料】

初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形