Python机器学习--简单清晰的说说K近邻算法的基本原理

K近邻算法的基本原理:首先通过所有的特征变量构筑起一个特征空间,特征空间的维数就是特征变量的个数,然后针对某个测试样本,按照参数K在特征空间内寻找与它最为近邻的K个训练样本观测值,最后依据这K个训练样本的响应变量值或实际分类情况获得该样本响应变量拟合值或预测分类情况。

针对分类问题,按照“多数票规则”来确定,也就是说,K个训练样本中包含样本数最多的那一类是什么,测试样本的分类就是什么;针对回归问题,则按照K近邻估计量来确定,也就是将K个训练样本响应变量值的简单平均值作为测试样本的响应变量拟合值。

由此可以看出,K近邻算法比较简单,所以当不了解数据分布或者没有任何先验知识时,K 近邻算法是一个不错的选择。

K值代表着在K近邻算法中选择多少个近邻值用于算法构建,也是K近邻算法中最为重要的参数。比较极端的情形有两种:一种是K取值为1的时候,也就说对于特定样本,只选择与自己最近的近邻值,最近近邻值的响应变量值为多少或者分为何类,特定样本也就相应地取值为多少或者分为何类,完全一致;另一种是K取值为整个样本容量的时候,也就是说对于每一个样本,都是用所有的样本作为其近邻值,不再区分。

不难看出,这两种极端情形都不可取。如果K取值过小,整体模型变得复杂,那么就仅使用较小的邻域中的训练样本进行预测,只有距离非常近的(相似的)样本才会起作用,这会导致模型的方差过大,或者说容易过拟合,导致模型的泛化能力不足,比如在前述K取值为1的时候,可以通过数学公式证明其泛化错误率上界为贝叶斯最优分类器错误率的两倍;如果而K取值过大,整体模型变得简单,那么就会使用过大邻域中的训练样本进行预测,距离非常远的(不太相似的)样本也会起作用,这会导致模型的偏差过大,或者说容易欠拟合,导致模型没有充分利用最临近(相似)样本的信息,比如在前述K取值为整个样本容量的时候,K近邻算法对每一个测试样本的预测结果将会变得一样(或者说每个测试样本在整个样本全集中的位置与地位都是一样的)。

所以,从K取值为1开始,随着取值的不断增大,K近邻算法的预测效果会逐渐提升,然而当达到一定数值(也就是最优数值)后,随着取值进一步的增大,K近邻算法的预测效果就会逐渐下降。针对特定问题,需要找到最为合适的K,使得K近邻算法能够达到最优效果。

在K值的具体选择方面,要注意以下三点:一是在大多数情况下,K值都比较小;二是为了避免产生相等占比的情况,K值一般取奇数;三是为了更加精确地找到合适的K值,建议设置一个K值的取值区间,然后通过交叉验证等方法分别计算其预测效果,从而找到最好的K值。

 上述内容节选自《Python机器学习原理与算法实现》(杨维忠、张甜著,2023年2月,清华大学出版社)。

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《Python机器学习原理与算法实现》(杨维忠 张甜 著 2023年2月新书 清华大学出版社)

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