5.gitchat训练营-线性回归——从模型函数到目标函数

1.从数据反推公式

        假设获得下面一张表格，列举了美国纽约若干程序员职位的年薪。

美国程序猿年薪

        根据表格中的特征，我们把Experience与Salary抽取出来，用x和y来分别指代它们。

经验与薪水

        我们可以先在二维坐标系里通过画图来看一下x与y的关系：

x与y的关系图

        把这6个点连起来，基本上就成了一条直线。那么假设存在，是合理的。
        既然认为和满足线性相关关系，那么线性函数：，就是我们的模型函数。其中也可以用来表示。
        我们要做的是综合利用所有的训练数据求出中常数和常数的值。

2.线性回归的目标函数

        综合利用的原则就是我们要求的这个和，在将训练样本的x逐个带入后，得出的预测年薪与真实年薪整体的差异最小。
        具体的一个样本的和的差异用来表示。
        怎么衡量这个整体差距呢？我们用下面这个公式，我们把它叫做为Cost Function，形式如下（其中为样本的个数，在本例中为6）：

        在这个模型函数中，和是常量参数，是自变量，而是因变量。
        但到了中，和是常量参数（也就是个样本各自的和值），而和成了自变量，是因变量。能够让因变量取值最小的自变量和，就是最好的和。
        我们要做的就是找到最好的和。

3.线性的定义

        线性回归模型是：利用线性函数对一个活多个自变量（或）和因变量（）之间的关系进行拟合的模型。
        也就是说，线性回归模型构建成功后，这个模型表现为线性函数的形式。
        线性函数的定义是：一阶（或更低阶）多项式，或零多项式。
        当线性函数只有一个自变量时，。

的函数形式是：

——一阶多项式

或者——零阶多项式

或者——零多项式

        但如果有多个独立自变量，的函数形式则是：

        换言之，直角坐标系中，除了平行于轴的那些直线之外，所有的直线都可以对应一个一维特征（自变量）的线性回归模型（一元多项式函数）。
        但如果样本特征本身是多维的，则最终的线性模型函数是一个多维空间内的[一阶|零阶|零]多项式。
        总结：特征是一维的，线性模型在二维空间构成一条直线；特征是二维的，线性模型在三维空间中构成一个平面；若特征是三维的，则最终模型在四维空间中构成一个体，以此类推。

线性模型在二维三维空间中的表现

4.用线性回归模型拟合非线性关系

        在输入特征只有一个的情况下，是不是只能在二维空间拟合直线呢？其实也不一定。
        线性模型并非完全不可能拟合自变量和因变量之间的非线性关系。
        比如有一个样本，只有一个特征，我们把特征和结果作图以后发现，是下图这样的：

样本和关系走势图

        上图样本和结果的关系走势根本不是直线，更像是二阶曲线。
        这个时候，我们完全可以把特征从一个“变成”两个：

设，有：
        

        这就相当于拟合了一条二阶多项式对应的曲线。

再设，则：
        

        这样一来，我们只需要在二维向量空间里训练，就可以了。
        当然，这种操作也不限于在一维到二维之间的转换，一维也可以转为三维、四维、n维；或者原本的k维也可以每一维都求平方后作为新特征引入，转为2k维，如此种种......依需要而取就好。