BNU29139——PvZ once again——————【矩阵快速幂】
PvZ once again
植物大战僵尸算个out的游戏了，原谅被出题逼疯了的跑来挖坟了。
会玩的请无视这一段直接看题目{
游戏中僵尸向你的房子进发，吃掉沿途遇到的植物进入你的房子 你就死翘了
你在土地上种植各种植物来攻击阻挡僵尸
手推车：放置在终点，僵尸走到面前会启动推倒一整行的僵尸
大蒜：可种植的一种植物，发出恶心的气味，僵尸咬了一口就会换到邻近的另一行（如果有相邻两行，那么移动到另外两行概率是相等的）
南瓜：单纯的肉盾 被僵尸啃的
耐久度K： 植物被咬了K口后被僵尸吃掉
如有其他对游戏的不理解请clarify
}
问题是这样的：
我们的院子变成了N行M列的，而且种满了大蒜（耐久度K）（图是我盗了 我不会这么无聊的）coming的僵尸只有一只（然而这只僵尸貌似发生了变异，它每啃一口植物，同一列相同种类的植物也被啃掉一口，一口一排的样子恩恩），初始位置在第S行，因为没有放置攻击性的植物，所以僵尸就一路吃了，于是出题者很想知道僵尸死在自上而下1-N号手推车的概率各是多少
（无视掉图中的南瓜，实际上对僵尸行走没有影响。。）
Input
一个整数T（表示T组数据）
接下来的T组数据
每组给定四个整数 N M K S
数据范围
T<=1000
0<N<=20
0<M<=1000
0<K<=1000
1<=S<=N
Output
对于每组数据输出一行N个4位小数 用空格隔开 表示僵尸死在相应行的概率 行末没有空格
Sample Input
1 5 9 5 3
Sample Output
0.0000 0.5000 0.0000 0.5000 0.0000
Source
所以最后只需输出转移n*k次后的矩阵的第s行即为所求。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k,s;
struct Matrix{
double a[25][25];
void init(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
void unit(){
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i][i]=1.0000;
}
}
Matrix operator * (Matrix &X)const {
Matrix ret;
ret.init();
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
ret.a[i][j]=0.0;
for(int k=1;k<=n;k++){
ret.a[i][j]+= X.a[i][k] * a[k][j];
}
}
}
return ret;
}
}A,B;
void debug(){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
printf("%.3lf ",B.a[i][j]);
printf("\n");
}
}
Matrix &POW(Matrix &tB,int x){
while(x){
if(x&1){
tB=tB*A;
}
x>>=1;
A=A*A;
}
return tB;
}
int main(){
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s);
if(n==1){
printf("1.0000\n");
continue;
}else{
A.init();
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==1){
A.a[i][2]=1.0;
}else if(i==n){
A.a[i][n-1]=1.0;
}else {
A.a[i][i+1]=A.a[i][i-1]=0.5;
}
}
B.init();
B.unit();
// debug();
POW(B,m*k);
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%.4lf%c",B.a[s][i],i==n?'\n':' ');
}
}
}
return 0;
}
图文详解：
假设以n,m,k,s分别为5，9,9,3为例。
P、PP、PPP分别代表咬1、2、3口后的概率，只是对于耐久度为9时，他们是在同一列的，只不过为了表示，所以这样给出，不要误解。PP1=0* P1+0.5* P2+0* P3+0* P4+ 0 * P5
PP2=1* P1+0 * P2+0.5*P3+0* P4+0* P5
PP3=0* P1+0.5* P2+0* P3+0.5*P4+0* P5
PP4=0* P1+0* P2+0.5* P3+0* P4+1* P5
PP5=0* P1+0* P2+0* P3+0.5*P4+0* P5
由上表可以看出，后一个列概率矩阵PP由前一个概率矩阵P乘以某一个矩阵得到。我们假设该某矩阵为A即：
| 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
| 0.5 |
0 |
0.5 |
0 |
0 |
| 0 |
0.5 |
0 |
0.5 |
0 |
| 0 |
0 |
0.5 |
0 |
0.5 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
| P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
用B*A得到下一个行概率矩阵B‘。同时由于矩相乘具有结合律，所以我们可以用矩阵快速幂来先求出转移n次的转移矩阵An*k，然后用原始矩阵B*An*k即可求得。由于原始矩阵B只有第s列为1，所以只需最后将矩阵的s行1---n列顺序输出即为答案。