Voronoi图（二）：基本概念和性质

1. 基本概念

这里我们着重介绍和实现关联比较大的概念和性质，其余内容有兴趣的朋友可以参考邓俊辉老师在edX上面的视频课程或教材上面的详解。同样这里给到必要观看的视频课程章节，这些内容对理解Voronoi图算法至关重要，标记有绿色√为必看章节，大家可以结合文章的内容，加深理解：

接下来，我们就先来看看Voronoi图的概念。就笔者自己的理解来说，Voronoi Diagrams（Voronoi图）主要由两部分组成：1）四个数据结构；2）一个基本性质。四个数据结构依次为：

1. Voronoi Site；
2. Voronoi Edge；
3. Voronoi Vertex；
4. Voronoi Cell；

一个基本性质为：

Cell里面任意一点到该Cell所属的Site的直线距离，比这点到其他Site的直线距离都短；

基本性质我们在上一节塞尔达的例子里面，已经给大家展示过了。这里我们还是用之前的例子，给大家展示一下上述四种数据结构：

大家可以看到，Voronoi Site就是输入点（传送点），Voronoi Vertex就是Voronoi Edge的交汇点，Voronoi Cell就是由包含某个Site的Voronoi Edge围成的区域（可封闭，可开放），但这里需要着重提一下Voronoi Edge的概念：

Voronoi Edge落在相邻两个Site的垂直平分线（Bisector）上，并不是相邻两个Site之间随意的一条直线上；

比如上图例中的初始之塔(S1)和双子山之塔(S2)，它们的Voronoi Edge落在以这两个点建立的垂直平分线上：

也就是说Voronoi Vertex是Site之间垂直平分线的交点，这个性质大家需要特别注意。在熟悉Voronoi图的结构之后，我们就来看看它有哪些重要的性质。

2. Voronoi的性质

首先，我们给到Voronoi图最重要的性质：

〖定理7.4〗¹
对于任一点集P 所对应的Voronoi 图Vor( P )，下列命题成立：

1. 点q 是Vor( P )的一个顶点，当且仅当在其最大空圆CP(q)的边界上，至少有三个基点；
2. pi 和pj 之间的平分线确定了Vor( P )的一条边，当且仅当在这条线上存在一个点q，CP(q)的边界经
   过pi 和pj，但不经过其它基点。

什么意思呢？我们通过图例来进行理解：

通过上述图例，想必大家就能理解上面关于Voronoi图最重要的性质，后面代码实现的时候，会用到这条定理来验证计算结果的正确性。最后，我们给到其他关于Voronoi图的性质，但不对它们做过多的解释，因为对代码实现不太重要，只是后面我们验证实现的时间复杂度的时候，会用到，所以大家先混个眼熟即可：

〖定理7.2〗¹
给定由平面上任意n 个点构成的集合P。若所有点都共线，则Vor( P )由n-1 条平行直线构成；否则，
Vor( P )将是连通的，而且其中的边不是线段就是射线。

〖定理7.3〗¹
若n ≥ 3，则在与平面上任意n 个基点相对应的Voronoi 图中，顶点的数目不会超过2n-5，而且边的
数目不会超过3n-6。

至于这些定理性质的证明，有兴趣的童鞋可以参考教材或视频课程，这里就不再赘述。

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上一节：Voronoi图（一）：塞尔达背后的计算几何

下一节：Voronoi图（三）：构造Voronoi图

系列汇总：塞尔达和计算几何 | Voronoi图详解文章汇总（含代码）

3. 参考资料

1. Computational Geometry: Algorithms and Applications
2. 计算几何 ⎯⎯ 算法与应用, 邓俊辉译，清华大学出版社

4. 免责声明

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1. 计算几何 ⎯⎯ 算法与应用, 邓俊辉译，清华大学出版社 ↩︎ ↩︎ ↩︎