算法笔记：树和二叉树基础

专题：树和二叉树基础

内容来源：《挑战程序设计竞赛》（第2版）+《算法竞赛入门经典》（第2版）+网上资料整理汇总

一、引入

1. 树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。树型结构在现实世界中广泛存在，如社会组织机构的组织关系图就可以用树型结构来表示。树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构。在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等，尤其是建立在树型结构基础之上的搜索算法。

        在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定、又可以为空、并有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此也常常将一般树转换成二叉树进行处理。

2. 树形结构描述：一种”节点+边”数据结构。在图中用圆代表节点，用线代表边。

二、树（这里指有根树，熟练掌握概念）

1. 有根树：一棵具有根节点的树。有根树的节点之间具有父子关系。

2. 几个概念：

        （1）节点：

        ①根节点：没有父节点的节点，在一棵树中是唯一的

        ②叶节点（外部节点）：没有子节点的节点

        ③非叶节点（内部节点）：除叶节点以外的节点

        （2）节点x的度：节点x的子节点的数目（叶节点的度为0）

        （3）节点x的深度：从根r到节点x的路径长度（即经过的边数）

        （4）节点x的高：节点x到叶节点的最大路径长度

        一棵树中根节点的高度最大，我们也称其为树的高度。

三、二叉树（熟练掌握操作）

1. 定义：二叉树（binary tree）是一种特殊的树形结构，它的度为2，即每个节点最多有两个子节点。每个节点的子节点分别称为左孩子、右孩子，它的两棵子树分别称为左子树、右子树。（此定义为递归定义）

        5种基本形态如下：

2. 重要性质

（1）在二叉树的第i层上最多有2^i-1个节点（i为正整数）

        证明：数学归纳法：当i=1时，2^i-1=1显然成立；现在假设第i-1层时命题成立，即第i-1层上最多有2^i-2<