LeetCode | 84. 柱状图中最大的矩形

一、题目描述

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。
示例：

示例说明：
如下是示例输入的柱状图，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]

根据题目要求可得到，图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。如下图：

二、思路及题解

首先，拿到这道题，想必很多人和我一样，想到的就是暴力解法，毕竟所有解法都是在优化暴力解法嘛~ 。那我们一起来看看我们熟悉的暴力解法？

2.1、方法一：暴力解法

暴力无外乎于求解所有的可能，找出其中满足要求的解！那么我们可以这样来操作：依次遍历柱形的高度数组，对于每一个矩形分别向它的两边扩散，求出以当前高度构成的矩形的最大面积，也就最大宽度。

为此，我们需要进行如下操作：

• 向前看：从当前矩形往前找，找到小于当前矩形高度的矩形或者到第一个矩形就停止，获取其下标；

• 向后看：从当前矩形往后找，找到小于当前矩形高度的矩阵或者到最后一个矩形就停止，获取其下标；

例如 [2,1,5,6,2,3] 的求解过程：如下图：



计算结果如下：

示例代码（Java）：

复杂度分析：

• 时间复杂度O(N^2)：N输入高度数组长度。
• 空间复杂度O(1).

2.2、方法二：栈

分析暴力算法的复杂度，我们可以知道，暴力算法的时间复杂度为O(N^2)，而空间复杂度为O(1 ) 。同时暴力算法中，在计算矩形宽度时，我们不断的重复去计算向前和向后满足要求的长度，所以造成一些重复的计算。因此，我们可以将这些计算结果记录下来，从而降低时间复杂度。

利用空间换时间的思路，用到的数据结构是栈~~，至于为什么？请保持疑问，继续往下看。

由于需要获知矩形的面积，我们需要记录矩形的面积，但是题目已经给出了矩形的高度，那么我们只需去获知矩形的宽度，记录矩形宽度即可。对于矩形宽度很容易根据数组的下标计算。因此，我们只需根据矩形的下标计算出矩形的宽，再记录它即可。

可能这样说比较晦涩，咱们直接借用例子说明，如下：

1. 首先，遍历到高度为2的矩形，下一个矩形还未知，所以目前还无法获知该矩形高度对应的矩形宽度。那就继续遍历~
   
2. 这时遍历到高度为1的矩形，还是不知该矩形右边的矩形，因此无法计算出以该矩形高度构成的最大矩形面积。可是，它的前一个高度为2的矩形，高度比当前矩形的高度（1）高，无法继续扩展矩形宽度了，因此可以知道这个高度为2的矩形宽度为1，面积为2。记录完后，便可将其“去除掉”。
   
3. 遍历到高度为5的矩形，同样的以当前看到柱形为高度的矩形的最大面积也是不知道的，因为我们还要继续看右边高度的情况。那么它的左右有没有可以确定的柱形呢？没有，这是因为 5 > 1 ，我们看后面马上就出现了 6，不管是 1 这个柱形还是 5 这个柱形，都还可以向右边扩展；
   
4. 遍历到6，如3所述，以1、5、6为高度的矩形最大面积还无法确定。
   
5. 之后便是高度为2 的矩形元素，此时2<6，因此可以确定高度为6的矩形面积，换句话说就是矩形的宽度。width = 1，面积为6;
   
6. 此时5>2，依然可以计算出以该矩形高度为高的矩形最大面积为5*2=10。
   

此时，观察计算下标为0、2、3对应元素为高的矩形面积时，我们可以发现该矩形的宽就是该矩形左右两边的矩形下标之差-1.如高度为6的矩形：width = indexOf2 - indexOf5 => width = 4-2-1=1。同时我们发现矩形面积的计算遵循着先遍历后计算的特点，比较符合数据结构中栈的特点，因此，我们就需要使用栈来记录对应高度的矩形的宽度。

可是有人会问了，那么第一个元素和最后一个元素的宽度如何计算呢？它们没有左边或者右边元素啊？无法获取其长度啊？所以我们这里提出了数据结构中快速排序的“哨兵思想”，在数组的开始和最后各加一个元素（0或者符合要求的），不并入计算面积，但是用于计算数组中矩形的宽度。

例如，计算第一个矩形2的宽度，width = index1 - index0.5 = 2 - 0 - 1= 1,如下图：

7. 由于2>1,因此继续遍历到高度为3的矩形。此时，已经遍历完数组了，所以3对应矩形的宽度为：width = index0.5-index1-1=7-2-1=4，因此该高度对应矩形的宽度为4，面积为8 。
   
8. 因此，高度为1的矩形对应的宽度为with=7-0-1=6;
   

总结来说，就是使用栈来记录对应高所构成的矩形宽度，从而使用栈的特点来计算每个高对应的最大宽度的矩形面积。

• width = nextIndex - preIndex - 1。

• 使用栈来存储矩形对应的宽。

• 当当前元素严格小于前一个元素（栈顶元素对应的数组下标的元素）时候，便可确定前一个元素对应矩形的最大面积。

• 在数组开头和最后添加“哨兵”，因此解决计算第一个元素和最后一个元素对应矩形的宽。

示例代码（Java）：

class Solution {
    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int len = heights.length ;
        if(len == 0){
            return 0;
        }
        if(len == 1){
            return heights[0];
        }

        int res = 0;
        //创建新的数组，存储加入的哨兵
        int[] newHeights = new int[len+2];
        newHeights[0] = 0;
        System.arraycopy(heights,0,newHeights,1,len);
        newHeights[len+1]=0;
        len+=2;

        heights = newHeights;
        Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>(len);
        //放入哨兵后，在循环中就不用栈非空判断
        stack.addLast(0);

        for(int i=1;i<len;i++){
            while(heights[i]<heights[stack.peekLast()]){
                int curHeight = heights[stack.pollLast()];
                int curWidth = i -stack.peekLast()-1;
                res = Math.max(res,curHeight*curWidth);
            }
            stack.addLast(i);
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度O(N)。

• 空间复杂度O(N)。