笔记---中国剩余定理

全程学自y总
AcWing.204.表达整数的奇怪方式
给定 $2n$ 个整数 $a$₁,$a$₂,…,$a$_n 和 $m$₁,$m$₂,…,$m$_n，求一个最小的非负整数 $x$，满足 $\forall i\in [1,n],x\equiv m$_i$(moda$_i$)$。

输入格式
第 1 行包含整数 $n$。

第 2…$n$+1 行：每 $i$+1 行包含两个整数 $a$_i 和 $m$_i，数之间用空格隔开。

输出格式
输出最小非负整数 $x$，如果 $x$ 不存在，则输出 −1。

数据范围
$1\le a$_i$\le 231-1,0\le m$_i$<a$_i
$1\le n\le 25$
所有 $m$_i 的最小公倍数在 $64$ 位有符号整数范围内。

输入样例：

8 7
11 9

输出样例：

31

中国剩余定理：
以$M=m$₁$\ast m$₂$\ast ...m$_k。

以$M$_i$=$$\frac{M}{mi}$。即Mi表示除了mi之外其他所有m的乘积，则Mi和mi是互质的，则我们可以求出$M$_i$modm$_i的逆元

用Mi_-1表示$M$_i$modm$_i的逆元，逆元即$a\ast x\equiv 1(modm)$，即我们可以通过扩展欧几里得算法来求出逆元

则$x=a$₁$\ast M$₁$\ast M$₁^-1$+a$₂$\ast M$₂$\ast M$₂²$+$…$a$_n$\ast M$_n$\ast M$_n^-1。此式子得到的$x$就是解

对于此道题：我们现在有很多个方程（x mod a_i = m_i），需要在每一步去合并方程
过程如下：

代码如下：

#include
using namespace std;
#define ll long long

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {	//扩展欧几里得算法
	if (!b) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

int main() {
	int n; cin >> n;

	bool has_answer = 1;	//判断是否有解

	ll a1, m1;
	cin >> a1 >> m1;	//第一个方程的a1和m1

	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {	//要合并n-1次方程
		ll a2, m2;
		cin >> a2 >> m2;//第二个方程的a2和m2

		ll k1, k2;		//要求的系数
		ll d = exgcd(a1,a2,k1,k2);	//求最大公约数同时求出了系数
		
		if ((m2 - m1) % d) {	//如果m2-m1和最大公约数不成倍数，那么无解
			has_answer = 0;
			break;
		}
		//此时求出的d为k1*a1 - k2*a2的最大公约数，而我们要求相对于m2-m1的
		//则需把求出的k1,k2乘上m2-m1 / d
		k1 *= (m2 - m1) / d;	//更新k1
		ll t = a2 / d;
		k1 = (k1 % t + t) % t;	//在k1的众多解中，取出最小的那个

		m1 = a1 * k1 + m1;		//更新m1，以进行下次合并方城
		a1 = abs(a1 / d * a2);	//更新a1
	}

	if (has_answer) {
		cout << (m1 % a1 + a1) % a1 << endl; //保证负数时求出正确的模数，上面t同理（C++直接模会与数学结果不同）
	}
	else {
		cout << -1 << endl;
	}

	return 0;
}