MATLAB矩阵的操作（第二部分）

师从清风

矩阵的创建方法

在MATLAB中，矩阵的创建方法主要有三种，分别是：直接输入法、函数创建法和导入本地文件中的数据。

直接输入法

输入矩阵时要以中括号“[ ]”作为标识符号，矩阵的所有元素必须都在中括号内。
矩阵的同行元素之间用空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。

a = [1 2 3; 4 5 6]
b = [1,2,3; 4,5,6]
c = [2  5
    6  7]
d = [3 6;
    6 9]   % 还可以既加分号又加回车键进行换行

如果不想显示输出结果，可以在语句的最后用英文分号“;”结束。（工作区还是可以找到我们创建的矩阵）

e = [2, 3
     5, 7];

函数创建法

MATLAB提供了一些函数，这些函数可以用来生成某些特定的矩阵，我们这里介绍几个最常用到的函数。

 zeros、ones和eye

这三个函数可用来分别创建全为0的矩阵、全为1的矩阵和单位矩阵。
以zeros函数为例，其常见的用法有两种：
（1）zeros(n)可以创建一个n行n列全为0的矩阵；
（2）zeros(m,n)可以创建一个m行n列全为0的矩阵。
a = zeros(3)  b = zeros(2,3)  c = ones(5)   d = ones(1,4)
单位矩阵：主对角线元素为 1 且其他位置元素为 0 。
e = eye(4)
f = eye(4,3)  

g = eye(3,4)  

 rand、randi和randn

这三个函数分别用来创建均匀分布的随机数、均匀分布的随机整数和标准正态分布的随机数

rand函数可用来创建区间0到1均匀分布的随机数，其最常用的方法有两种：
（1）rand(n)可以创建一个n行n列的随机数矩阵；
（2）rand(m,n)可以创建一个m行n列的随机数矩阵。
由rand函数创建的随机数矩阵的每个元素都随机取样自0和1之间的均匀分布。
rand(3)     rand(3,2)
randi函数是用来创建均匀分布的随机整数(randi后的i是integer的缩写)，其最一般的使用方法为：randi([imin,imax],m,n)，可以用来创建一个m行n列的随机数矩阵，该随机数矩阵中的每个元素都是从区间[imin,imax]内随机抽取的整数。
例子：假设我们要模拟投掷100次骰子，骰子有6个面，那么我们可以使用randi([1,6],1,100)得到一个长度为100的行向量，向量中的每个元素都是取自1,2,3,4,5,6中的一个整数。
randi([1,6],1,100)  % 这里我生成一个行向量，也可以生成列向量
另外，如果imin等于1，那么可以简写为randi(imax,m,n)；
randi(6,1,100)
如果m和n相同，即生成一个n行n列的方阵，那么可以直接写成randi([imin,imax],n)。
randi([-3 3],5)  
randn函数用来创建标准正态分布的随机数（randn后的n是norm distribution的缩写），其使用方法和rand函数类似：
（1）randn(n)可以创建一个n行n列的随机数矩阵；
（2）randn(m,n)可以创建一个m行n列的随机数矩阵。
注：1、由randn函数创建的随机数矩阵的每个元素都随机取样自标准正态分布。
        2、标准正态分布:以0为均值、以1为标准差的正态分布，记为N(0,1).

diag和blkdiag

diag函数可用来创建对角矩阵或者获取矩阵的对角元素（diagonal 对角的）。
情况1：如果输入的第一个参数是向量，则表示创建对角矩阵。
    diag(v,k) 将向量v的元素放置在第k条对角线上，其他位置元素为0。
    k=0 表示主对角线，k>0 位于主对角线上方，k<0 位于主对角线下方。
    如果k=0, 可以直接写成diag(v)。
diag([1,2,3])  % 或者写成diag([1,2,3], 0)  

diag([1,2,3],-1)

情况2：如果输入的第一个参数是矩阵，则表示获取矩阵的对角元素。
    diag(A,k) 返回A的第k条对角线上元素的构成的列向量。
    k表示对角线编号，我们将其指定为一个整数。
    k=0 表示主对角线，k>0 位于主对角线上方，k<0 位于主对角线下方。
    如果k=0, diag(A, 0)可以直接写成diag(A)。

blkdiag函数可用来创建分块对角矩阵（block diagnoal 分块对角）。
分块对角矩阵是相对于常规的对角矩阵而言的，常规的对角矩阵沿对角线具有单个元素，而分块对角矩阵的对角线的元素是矩阵。
我们可采用以下形式表示一个分块对角矩阵：
A1 = [1,2,3;4,5,6]
A2 = [7,8;9,10]
A3 = [11,12;13,14;15,16]
blkdiag(A1,A2,A3)

导入本地文件中的数据

MATLAB可读取本地的文件，支持的常见格式如下：
.txt、.dat 或 .csv（适用于带分隔符的文本文件）
.xls、.xlsb、.xlsm、.xlsx、.xltm、.xltx 或 .ods（适用于电子表格文件）

矩阵元素的引用

双下标索引

我们可以使用矩阵元素所处的行(row)和列(column)来进行引用矩阵的某一个元素，方式为：a(row_ind, column_ind). 
 

size函数

可以使用size函数来计算矩阵的大小

有三种常见的用法：
（1）size(A) 返回一个行向量，其元素是 A 的相应维度的长度。
A = ones(4,6) % 全为1的矩阵
s = size(A)   % 返回[4,6]，表示有4行和6列

（2）size(A,dim)返回在维度dim上的长度。dim=1表示行；dim=2表示列
r_num = size(A,1)  % 行数  r_num=4
c_num = size(A,2)   % 列数 c_num=6

注意：即使A是一个向量，size(A)返回的结果也是一个向量，而不是向量的长度。
A = 1:5;  % 行向量：[1 2 3 4 5]
size(A)=1  5
（3）size函数可以有两个返回值
第一个返回的元素用来保存行数；第二个返回的元素用来保存列数
A = zeros(3,5)
[r, c] = size(A)     %输出 r=3  c=5

length函数和numel函数也可以用在矩阵上。
length函数会返回行和列的较大值
A = ones(3,4)
length(A)=4
numel函数会返回矩阵中元素的总数
numel(A)=3*4=12

有时候我们需要取出矩阵的某一行或者某一列。以取出矩阵A的第一行为例，我们可以使用代码A(1, 1:end)，即row_ind取1表示第一行，column_ind取1:end表示从1到最后一列的索引。
A = randi([2,10],4,5) 
A(1,1:end)
这时候我们可以直接将其简写为：A(1, :)，逗号后面是列索引的位置，加一个冒号就表示取出每一列的元素。
A(1,:)
同理，要取第一列的所有元素，我们可以使用代码：A(:, 1)
A(:, 1)
总结：
A(:, n) 表示矩阵A的第n列的所有元素。
A(m, :) 表示矩阵A的第m行的所有元素。

线性索引（单下标）

使用单个下标对矩阵进行索引这种单下标的索引方法称为线性索引。
事实上，在MATLAB中，矩阵的数据在计算机的内存中被存储为单列。以下图为例，下面的矩阵虽然显示为 3×3 矩阵，但MATLAB在内存中将它存储为单列，由它的各列顺次连接而成。

我们可以利用线性索引来取出矩阵中的元素，尽管这种方式并不那么直观。
举个例子：

A(:)命令可以将A中的所有元素按照线性索引的方式重构成一个列向量，这个命令后面会经常用到。

sub2ind和ind2sub函数

可用于在矩阵的原始索引(双下标)和线性索引之间进行转换(用到频率不高)(subscript 下标)。
sub2ind将矩阵的下标转换为线性索引
ind = sub2ind(sz,row,col) 针对大小为 sz 的矩阵返回由 row 和 col 指定的行列下标的对应线性索引 ind。此处，sz 是包含两个元素的向量，其中 sz(1) 指定行数，sz(2) 指定列数。
ind2sub将线性索引转换为下标[row,col] = ind2sub(sz,ind) 返回数组 row 和 col，其中包含与大小为 sz 的矩阵的线性索引 ind 对应的等效行和列下标。此处，sz 是包含两个元素的向量，其中 sz(1) 指定行数，sz(2) 指定列数。
 

矩阵元素的修改和删除

1、可以直接利用等号赋值的方法对引用位置的元素进行修改，用法和对向量元素的修改类似。

2、可以使用线性索引（单下标的索引）的方式对矩阵的元素进行修改：

3、对矩阵进行拓展
通过将一个或多个元素置于矩阵现有的行和列索引边界之外，可以将它们添加到矩阵中。MATLAB 会自动用 0 填充矩阵，使其保持为矩形。

还可以通过在现有索引范围之外插入新矩阵来扩展其大小。

如果我们将等号右侧变成空向量[ ]，则可以删除对应位置的元素。需要注意的是，通常只能删除矩阵的整行或者整列，否则会报错。

注意，也可以通过线性索引来删除矩阵的元素。使用线性索引删除后，MATLAB会将矩阵中剩下的元素按照线性索引的顺序放入到一个向量中。另外，使用线性索引可以删除任意位置的元素，不需要删除矩阵的一整行或者一整列。

矩阵的拼接和重复

矩阵的拼接

有时候我们需要对多个矩阵进行拼接，变成一个大的矩阵。
根据矩阵拼接的方向，我们可以分为横向(水平)拼接和纵向(垂直)拼接，如下图所示：

如上图所示：横向拼接要求矩阵的行数相同；纵向拼接要求矩阵的列数相同。
在MATLAB中，我们可以使用命令[A, B] 或 [A  B]对矩阵A和B进行横向拼接，也可以使用MATLAB中的内置函数：horzcat(A,B)；
A = [1 6 7; 4 5 7]
B = [3 1; 5 10]
[A, B]

[A B] % 用空格隔开，可以有多个空格
horzcat(A,B)
 cat(2,A,B)

类似的，我们可以使用命令[A; B]对矩阵A和B进行纵向拼接，也可以使用MATLAB中的内置函数：vertcat(A,B)。
A = [2 4 5;2 2 4]
B = [1 8 6;6 3 10;1 5 5]
[A; B]
[A
 B]  % 也可以使用回车键进行纵向拼接
vertcat(A,B)
cat(1,A,B)

下面是cat函数的帮助链接：
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/double.cat.html
命令cat(dim,A,B)表示沿维度 dim 方向将矩阵B拼接到矩阵A的末尾。
dim = 1时表示从上自下沿着行方向拼接，即纵向拼接，因此cat(1,A,B)等价于vertcat(A,B)；
dim = 2时表示从左自右沿着列方向拼接，即横向拼接，因此cat(2,A,B)等价于horzcat(A,B)。

大小不匹配会报错

矩阵的重复

有时候我们需要对同一个矩阵进行重复的堆叠。
例如将矩阵A的内容堆叠在m行n列的新矩阵中，这个新矩阵每一行由n个A组成，每一列由m个A组成。
下面我们画一个示意图：

在MATLAB中，对同一个矩阵进行重复的堆叠的代码为repmat(A,m,n)。

对向量或者矩阵中的元素进行重复，使用到的函数是repelem。（使用较少）
情况1：重复向量v中的元素：repelem(v,n)
当n为一个正整数时，表示把向量v中的每一个元素都重复n次；
n也可以为一个向量，其长度必须和v的长度相同，它可以将v的每个元素指定重复n对应元素的次数。

情况2：重复矩阵A中的元素：repelem(A,m,n)
m和n分别表示沿着行方向(从上至下)和列方向(从左至右)将矩阵元素重复的次数，这里的m和n可以是正整数，也可以是向量。
如果m是向量，则m的长度要和矩阵A的行数相同；如果n是向量，则n的长度要和矩阵A的列数相同。

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