一道超简单的基于动态规划的最长公共子序列算法分析

问题描述

给定两个字符串text1和text2，返回这两个字符串的最长公共子序列（LCS）的长度。一个字符串的子序列是指这个字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符的相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

最长公共子序列问题是找出两个字符串序列共有的最长的子序列的长度。这个子序列不需要连续出现在原字符串中。

示例

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度是 3。

问题描述

给定两个字符串text1和text2，返回这两个字符串的最长公共子序列（LCS）的长度。一个字符串的子序列是指这个字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符的相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

最长公共子序列问题是找出两个字符串序列共有的最长的子序列的长度。这个子序列不需要连续出现在原字符串中。

示例

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度是 3。

解题思路

最长公共子序列问题可以通过动态规划来解决。动态规划的基本思想是把原问题拆解成若干子问题，同时保存子问题的答案，使得每个子问题只求解一次，最终获得原问题的答案。

定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示text1中前i个字符和text2中前j个字符的最长公共子序列的长度。根据text1[i-1]和text2[j-1]（数组下标从0开始）是否相等，我们可以得出状态转移方程：

• 如果text1[i-1] == text2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
• 如果text1[i-1] != text2[j-1]，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

代码实现（Java）

public class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        
        return dp[m][n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m * n)，其中m和n分别是text1和text2的长度。需要遍历这两个字符串一次。
• 空间复杂度：O(m * n)，用于存储动态规划表格的空间。

最长公共子序列（LCS）问题是动态规划中的一个经典问题，它不仅仅可以应用于字符串，还可以扩展到序列、数组等其他数据结构的相似问题中。