CCF-CSP 202209-1 如此编码

题目要求

‍⬛问题背景

某次测验后，顿顿老师在黑板上留下了一串数字 23333 便飘然而去。凝望着这个神秘数字，小 P 同学不禁陷入了沉思……

‍⬛问题描述

已知某次测验包含 $n$ 道单项选择题，其中第 $i$ 题 $(1\le i\le n)$ 有 $a_i$ 个选项，正确选项为 $b_i$，满足 $a_i\le 2$ 且 $0\le b_i<a_i$。比如说，$a_i=4$ 表示第 $i$ 题有 $4$ 个选项，此时正确选项 $b_i$ 的取值一定是 0、1、2、3 其中之一。

顿顿老师设计了如下方式对正确答案进行编码，使得仅用一个整数 $m$ 便可表示 $b_1,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_n$。

首先定义一个辅助数组 $c_i$，表示数组 $a_i$ 的前缀乘积。当 $1\le i\le n$ 时，满足：

$c_i=a_1\times a_2\times \cdot \cdot \cdot \times a_i$

特别地，定义 $c_0=1$。

于是 $m$ 便可按照如下公式算出：

$$\begin{gathered} m={\sum }_{i=1}^n{c}_{i-1}\times b_i \\ =c_0\times b_1+c_1\times b_2+\cdot \cdot \cdot +c_{n-1}\times b_n \end{gathered}$$

易知，$0\le m<c_n$，最小值和最大值分别当 $b_i$ 全部为 0 和 $b_i=a_i-1$ 时取得。

试帮助小 P 同学，把测验的正确答案 $b_1,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_n$ 从顿顿老师留下的神秘整数 $m$ 中恢复出来。

‍⬛输入格式

从标准输入读入数据。

输入共两行。

第一行包含用空格分隔的两个整数 $n$ 和 $m$，分别表示题目数量和顿顿老师的神秘数字。

第二行包含用空格分隔的 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$，依次表示每道选择题的选项数目。

‍⬛输出格式

输出到标准输出。

输出仅一行，包含用空格分隔的 $n$ 个整数 $b_1,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_n$，依次表示每道选择题的正确选项。

‍⬛样例说明

样例1输入

15 32767
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

样例1输出

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

样例2输入

4 0
2 3 2 5

样例2输出

0 0 0 0

样例3输入

7 23333
3 5 20 10 4 3 10

样例3输出

2 2 15 7 3 1 0

样例3解释

i	1	2	3	4	5	6	7
$a_i$	3	5	20	10	4	3	10
$b_i$	2	2	15	7	3	1	0
$c_{i-1}$	1	3	15	300	3000	12000	36000

‍⬛子任务

50% 的测试数据满足：$a_i$ 全部等于 2，即每道题均只有两个选项，此时 $c_i=2^i$；

全部的测试数据满足：$1\le n\le 20$，$a_i\ge 2$ 且 $c_n\le 10^9$（根据题目描述中的定义 $c_n$ 表示全部 $a_i$ 的乘积）。

‍⬛提示

对任意的 $1\le j\le n$，因为 $c_{j+1},c_{j+2},\cdot \cdot \cdot$ 均为 $c_j$ 的倍数，所以 $m$ 除以 $q$ 的余数具有如下性质：
$m\%c_j={\sum }_{i=1}^n{c}_{i-1}\times b_i$
其中 $\%$ 表示取余运算。令 $j$ 取不同的值，则有如下等式：
$m\%c_1=c_0\times b_1$
$m\%c_2=c_0\times b_1+c_1\times b_2$
$m\%c_3=c_0\times b_1+c_1\times b_2+c_2\times b_3$
$\cdot \cdot \cdot$

问题解决

满分代码（含逐行代码解释）

C++

#include
using namespace std;

int main(){
	//输入 
	int n, a[100001], b[100001];
	long long int m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cin >> a[i];
	}
	//计算 
	long long int c = 1;
	long long int temp;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		//计算过程按照题目要求的来 
		temp = c;
		c *= a[i];
		b[i] = ((m % c) - (m % temp)) / temp; 
		//计算m除以c的余数，然后减去m除以temp的余数，最后再除以temp
	}
	//输出
	for(int i = 0; i < n; i++){
		cout << b[i] << " ";
	}
	return 0;
} 

Python

#代码逻辑与C++完全相同，不再一一赘述
# 输入
n, m = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
b = [0] * n

# 计算
c = 1
for i in range(n):
    temp = c
    c *= a[i]
    b[i] = ((m % c) - (m % temp)) // temp

# 输出
for i in range(n):
    print(b[i], end=" ")

场景拓展

本题代码适用于一类与模运算相关的题型。这类题型通常涉及到对给定数值范围内的所有数进行某种操作，并且需要计算每个数在该操作下的结果。具体来说，这段代码适用于以下类型的题目：

• 数论问题：求解某个数在给定范围内的取值情况，如求解在区间[1, n]中能被a整除但不能被b整除的数的个数。
• 排列组合问题：求解某个数的阶乘、组合数等相关问题，如求解n个数的全排列中，m在某个位置的个数。
• 动态规划问题：求解某个状态的转移方程，如背包问题、最长公共子序列等。