信息学奥赛一本通 1322：【例6.4】拦截导弹问题(Noip1999)

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ybt 1322：【例6.4】拦截导弹问题(Noip1999)
原题有两个问，本题为第2问

【题目考点】

1. 贪心

【解题思路】

设$h$表示当前系统可以拦截的最高的高度。
贪心选择：高度小于等于$h$的导弹中高度最高的导弹。
如果当前系统无法再拦截导弹，而且存在未被拦截的导弹，那么增加一个拦截系统，将$h$设为无穷大，继续进行贪心选择。

各导弹高度构成一个数字序列，每个拦截系统拦截的导弹的高度为原序列的不升子序列。该题可以抽象为：求一个数字序列的不升子序列的最少个数。
以下讨论中使用抽象后的概念。

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：如果当前数字小于等于某不升子序列的最后一个数字，那么将其接在该不升子序列的末尾。否则将该数字作为一个新的不升子序列的第一个数字。

该题的解为多个不升数字序列。

1. 证明：存在最优解包含第一次的贪心选择，也就是说整个序列的第一个数字$g$是某个数字序列的第一个数字。

   这一点是显然的。g是原序列的第一个数字，原序列的子序列中，不可能在g前面仍然有数字。

2. 证明：假设前k次都进行贪心选择，存在最优解包含第k+1次的贪心选择$g$。
   1） 如果$g$是某子序列的第一个数

   假设所有的最优解都不包含第一个数是$g$的子序列，任选一个最优解，存在g不是第一个数字的不升子序列：列$a_1,a_2,...,g,...,a_m$。该序列在第k次选择后应该为$a_1,a_2,...,a_l$，而后又选择了一些数字后，才选择g，即$a_1,a_2,...,a_l,...,g$
   因为这是不升子序列，因此一定有$a_l\ge g$
   而g的贪心选择，如果贪心选择决定此时g应该是某子序列的第一个数，就一定是因为当前g大于所有已有不升子序列末尾元素。因此有$g>a_l$
   存在矛盾，假设不成立，命题得证。

   2）如果$g$不是某子序列的第一个数
   也就是说，存在子序列$a_x,a_{x+1},...,a_k$，$a_k$是第k次的贪心选择，前k次的贪心选择已经固定。下一次贪心选择是$g$，应该与$a_k$在同一序列且在$a_k$的后面。

   假设所有最优解中不存在$a_k$在子序列中的下一个数字是$g$的情况。
   1.如果$a_k$与$g$仍然在同一子序列，那么有：$a_x,...,a_k,a_{k+1},...,g,...,a_m$
   这种情况是不可能出现的。第k次贪心选择后，该序列末尾是$a_k$，下一个数字就是g。g前面的数字都已经加入到各个子序列中了，不可能存在在g之前的未加入子序列的$a_{k+1}$。
   2.如果$a_k$与$g$不在同一子序列中，
   由于g前面的数字都已经加入了各子序列中，如果g接在某个子序列的末尾，就满足了贪心选择。因此g一定是某个序列中的第一个数字，该序列为：$g,a_{g-1},g,a_{g+1},...,a_{ge}$
   第k次贪心选择$a_k$存在的序列为$a_x,a_{x+1},...,a_k,a_{k+1},...,a_m$(也可能不存在$a_{k+1},...,a_m$)，
   由于$g\le a_k$，序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$一定也是不升序列。
   如果$a_{k+1},...,a_m$不存在，则将$g$所在的序列接在$a_k$的后面，构成序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$，总序列数量减少，仍然是最优解。
   如果存在$a_{k+1},...,a_m$，那么将序列$g,a_{g+1},...,a_{ge}$与$a_{k+1},...,a_m$交换。得到序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$与$a_{k+1},...,a_m$，总序列数量不变，仍是最优解。
   无论何总情况，总能构造出满足$a_k$在子序列中下一个数字是$g$的最优解。与假设相悖，假设不成立，原命题得证。

2. 具体做法

将导弹高度记录在数组a中，设vis数组，表示第i个导弹是否已经被拦截。设h为无穷大。顺序遍历数组a，遇到小于等于h的数字，则拦截该导弹，记录拦截导弹的个数。
遍历结束后，如果拦截到的导弹数量不足n，那么将h设为无穷大，再次遍历该数组。重复上述过程，直到拦截的数量等于n。输出遍历的次数。

【题解代码】

解法1：贪心

• 写法1：

#include
using namespace std;
#define N 1005
#define INF 0x3f3f3f3f
int main()
{
    int a[N], n = 1, ct = 0, h, ans = 0;//ct:拦截的导弹数量 ans：遍历了几趟 
    bool vis[N] = {};
    while(cin >> a[n])
        n++;
    n--;
    while(ct < n)
    {
        h = INF;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            if(vis[i] == false && h >= a[i])//如果导弹i没被拦截 且 可以被拦截 
            {
                h = a[i];
                vis[i] = true;
                ct++;
            }
        }
        ans++;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

• 写法2：

#include 
using namespace std;
int main()
{
	int a[1005], an = 0, h[1005], hn = 0;//h[i]：第i个拦截系统的拦截高度 
	while(cin >> a[an])
		an++;
	for(int i = 0; i < an; ++i)
	{
		bool flag = false;//是否拦截到导弹 
		for(int j = 0; j < hn; ++j)
		{
			if(h[j] >= a[i])
			{
				h[j] = a[i];
				flag = true;
				break;
			}
		}
		if(flag == false)
			h[hn++] = a[i];
	}
	cout << hn; 
	return 0;
}