2024年美国大学生数学建模比赛MCM问题A：资源可用性和性别比例-思路解析与代码解答

2024 MCM

Problem A: Resource Availability and Sex Ratios

一、题目翻译

背景

虽然一些动物物种存在于通常的雄性或雌性性别之外，但大多数物种实质上是雄性或雌性。虽然许多物种在出生时的性别比例为1：1，但其他物种的性别比例并不均匀。这被称为适应性性别比例的变化。例如，美洲短吻鳄孵化卵的巢穴的温度会影响其出生时的性别比例。

七鳃鳗的作用是复杂的。在一些湖泊栖息地，它们被视为对生态系统有重大影响的寄生虫，而七鳃鳗在世界的一些地区也是食物来源，如斯堪的纳维亚，波罗的海，以及太平洋西北部的一些土著民族的北美。

海洋七鳃鳗的性别比例可能因外部环境而异。海七鳃鳗变成雄性或雌性取决于它们在幼虫阶段的生长速度。这些幼虫的生长速度受到食物供应的影响。在食物供应率较低的环境中，增长率将会较低，雄性的比例可达到约占人口的78%。在食物更容易获得的环境中，男性的比例约占人口的56%。

我们关注的问题是性别比例及其对当地条件的依赖性，特别是对海洋七鳃鳗。海七鳃鳗生活在湖泊或海洋的栖息地，并迁移到河流上产卵。其任务是检查一个物种根据资源可用性而改变其性别比例的能力的优缺点。您的团队应该开发并检查一个模型，以深入了解生态系统中由此产生的相互作用。

问题

1. 当七鳃鳗种群可以改变其性别比例时，对更大的生态系统有什么影响？
2. 对七鳃鳗的种群有什么优点和缺点？
3. 在七鳃鳗的性别比发生变化的情况下，生态系统的稳定性有什么影响？
4. 具有可变性别比的七鳃鳗种群的生态系统能否为生态系统中的其他物种，如寄生虫，提供优势？

二、解题过程与结果

1. 当七鳃鳗种群可以改变其性别比例时，对更大的生态系统有什么影响？

根据题目，要研究七鳃鳗种群的性别比例改变对于宏观的生态系统具有怎样的影响，首先需要确定该物种本身在生态系统中发挥的作用。

七鳃鳗（Lamprey）是一类寄生性无脊椎动物，它们主要寄生在其他鱼类身上，使用吸盘和角质牙来附着并吸食宿主的体液。七鳃鳗在生态系统中扮演着一些重要的角色，这些作用可以因其寄主种类和所处环境而有所不同。

以下是七鳃鳗在生态系统中可能发挥的一些作用：

寄生作用： 七鳃鳗是典型的寄生动物，它们寄生在其他鱼类身上。这种寄生关系可以影响寄主的健康和行为。在某些情况下，大量的七鳃鳗寄生可能对寄主的存活和繁殖产生负面影响。

食物链作用： 七鳃鳗是食物链中的一环，它们的存在直接或间接地影响了其他生物的生存。它们可能被其他掠食者捕食，也可能通过寄生间接影响寄主的数量和行为。

生态平衡： 在一些生态系统中，七鳃鳗可以帮助维持生态平衡。通过寄生和影响寄主种群，它们可能有助于控制某些鱼类的数量，防止过度繁殖。

生态工程： 在某些生态系统中，七鳃鳗的寄生行为可能导致寄主鱼产生创口和伤口。这些伤口可能提供栖息地和生态位，对其他生物的生存和繁衍产生影响。

根据上述资料，可以得出，七鳃鳗主要通过寄生行为对生态系统产生影响。而性别比的变化，将最直接影响该种群的密度变化（种内影响），从而对与其共处同一食物链或密切相关的其他物种种群密度带来影响（种间影响）。

接下来，我们将建立数学模型来分别量化性别比变化对种内和种间带来的影响。

（1）【种内影响量化——性别比对七鳃鳗种群密度的影响】

 

根据题目给出的背景信息，我们知道在缺少食物的环境下，七鳃鳗的幼体生长速度会变缓，导致更多的成熟体成为雄性。同样的，根据相关文献资料，我们发现种群密度较高的情况下，雄性的占比也更多。（通常情况下，种群密度较高时会增加种内对食物资源的竞争，这也促使雄性占比增加，与题干信息相符）

著名的费舍尔定理表明，自然界大多数物种的性别比都接近1:1，这是自然选择与进化的结果。因此我们通常认为，性别比的失衡会导致种群的繁衍能力下降，导致随后一段时间的种群出生率降低。但是考虑到七鳃鳗存在雌雄变换的特殊性，性别比与种群密度的关系变得更为复杂，难以通过理论的角度进行分析量化。因此，采用数据拟合的方法来确定性别比与种群密度的关系。

#采用对数方程模拟
略，完整版见文末链接

绘制出种群数量与性别比关系的示意图如下：

#完整版见文末

（2）【种间影响量化——性别比对食物链中其他种群密度的影响】

 某种群因性别比而产生的数量变化对于整个生态系统的影响是十分复杂的，为了方便进行定量研究，选取七鳃鳗存在的一条简单食物链。

建立食物链中物种数量变化对其他物种的影响的数学模型涉及到描述各个物种的种群动态、相互作用和能量流的方程。以下是一个简化的数学模型：

#这个模型基于Lotka-Volterra方程形式，其中考虑到了捕食率、捕食效率、自然增长率和环境容量。
完整版见文末

 2.对七鳃鳗的种群有什么优点和缺点？

该问题想探究七鳃鳗种群这种依赖于外部环境的食物资源供应而进行种群内部性别比例调节的能力对其自身所带来的好处与坏处。 

首先进行简要分析：

当生存环境中的食物供应充足时：幼体生长速度较快，雌性比例上升（性别比更接近 1：1最佳状态），这时种群的繁衍能力也上升，种群的迭代速度较快。

当生存环境中的食物供应匮乏时：幼体生长缓慢，雄性比例上升（性别比偏离1:1），这时种群的繁衍能力下降，出生率降低，但由于种群幼体的生长速度有所减缓，所以整体的死亡率也随之下降，整体上可维持种群数目的稳定。

由此，猜想该种根据生存环境资源调节性别比的能力让七鳃鳗适应环境的能力增强，使其能长时间保持种群密度的稳定而不至于因环境的极端变化而灭亡。

针对这一猜想，进行建模以模拟验证。

#食物供应模拟模型
设食物供应量为F，性别比sr，种群数目N，则每个个体平均获得的食物资源为F/N，设饱足阈值为satiety。
#考虑向基础的种群自然增长模型中引入sr与F两个变量，通过修改模型的自然增长项来实现。假设性别比越接近1，种群增长越快，可以将性别比(sr)添加到自然增长率(r)中。以下是修改后的模型：

完整版见文末

3.在七鳃鳗的性别比发生变化的情况下，生态系统的稳定性有什么影响？

总体而言，性别比变化对生态系统稳定性的具体影响是复杂而多样的，并且取决于生态系统的特定条件以及其他环境因素。详细的研究和模拟分析可能是了解这种影响的有效途径。

Ricker模型是描述种群动态的一种模型，通常用来模拟寄生生物与寄主之间的相互作用。

 

#在本问题中，我们采用Ricker模型进行生态系统的稳定性分析
要衡量生态系统的稳定性，可以通过模拟不同的情景并观察种群数量的动态变化。在已知的条件情况下，可以将Ricker模型中的参数R和a与性别比(sr)相关联。
完整版见文末

4.具有可变性别比的七鳃鳗种群的生态系统能否为生态系统中的其他物种，如寄生虫，提供优势？

七鳃鳗种群与生态系统中的其他物种的主要关系有两种：寄生、竞争。

【寄生】

首先研究七鳃鳗种群的可变性别比对其寄生关系的物种带来的影响：

为了模拟寄生虫与宿主之间的相互作用，可以使用一种模型，例如Lotka-Volterra方程。这个方程通常用来描述捕食者和被捕食者之间的动态关系，但在这里我们可以将其用于描述寄生虫（寄生者）与宿主之间的相互作用。

【竞争】

接下来，考虑到生态系统中存在与七鳃鳗同级别（具有斗争关系）的种群，研究七鳃鳗的可变性别比对其竞争关系的影响。

在这种情况下，寄生虫A（即七鳃鳗）和寄生虫B之间没有捕食关系，而且寄生虫B的种群密度不受性别比影响。我们可以使用两个独立的Lotka-Volterra方程模拟这两个种群的竞争关系。

完整版↓

链接：https://pan.baidu.com/s/1aOQ5pILy94N06HWgQW4Thw?pwd=vdsd 
提取码：vdsd 
--来自百度网盘超级会员V4的分享