Java数据结构--树
文章目录
- 一、二叉树
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- 1.1 二叉树常见术语
- 1.2 二叉树的基本操作
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- 1.2.1 插入和删除节点
- 1.3 常见的二叉树类型
- 二、二叉树遍历
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- 2.1 层序遍历
- 2.2 前序、中序、后序遍历
- 三、二叉树数组表示
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- 3.1 表示完美二叉树
- 3.2 表示任意二叉树
- 3.3 优点与局限性
- 四、二叉搜索树
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- 4.1 二叉搜索树的操作
- 4.2 二叉搜索树的效率
- 五、AVL树 *
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- 5.1 AVL树常见术语
- 5.2 AVL树旋转
- 5.3 AVL树常用操作
一、二叉树
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
int val //节点值
TreeNode left; //左子节点引用
TreeNode right; //右子节引用
TreeNode(int x) {
val = x;
}
}
每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
1.1 二叉树常见术语
- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向None。
- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
1.2 二叉树的基本操作
1.2.1 插入和删除节点
与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。
binary_tree.java
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.let = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
1.3 常见的二叉树类型
- 完美二叉树
「完美二叉树 perfect binary tree」(也称满二叉树)所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为0，其余所有节点的度都为2；若树的高度为h，则节点总数为2^(h+1) - 1，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
- 完全二叉树
「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
- 完满二叉树
「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
- 平衡二叉树
「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
二、二叉树遍历
从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
2.1 层序遍历
层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
// 初始化队列，加入根节点
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
list.add(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // 左子节点入队
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
}
- 复杂度分析
- 时间复杂度O(n)：所有节点被访问一次，使用O(n)时间，其中n为节点数量
- 空间复杂度O(n)：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在(n+1)/2个节点，占用O(n)空间。
2.2 前序、中序、后序遍历
相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
}
- 复杂度分析
- 时间复杂度O(n): 所有节点被访问一次，使用O(n)时间。
- 空间复杂度O(n)：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到n，系统占用你O(n)栈帧空间。
三、二叉树数组表示
3.1 表示完美二叉树
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 i，则该节点的左子节点索引为 2i+1，右子节点索引为 2i+2。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
3.2 表示任意二叉树
完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多None。由于层序遍历序列并不包含这些None，因此我们无法仅凭该序列来推测None的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。
我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有None
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<Integer> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<Integer> arr) {
tree = new ArrayList<>(arr);
}
/* 节点数量 */
public int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public Integer val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree.get(i);
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public Integer left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public Integer right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public Integer parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<Integer> levelOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != null)
res.add(val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(Integer i, String order, List<Integer> res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == null)
return;
// 前序遍历
if ("pre".equals(order))
res.add(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if ("in".equals(order))
res.add(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if ("post".equals(order))
res.add(val(i));
}
/* 前序遍历 */
public List<Integer> preOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<Integer> inOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<Integer> postOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
3.3 优点与局限性
二叉树的数组表示主要有以下优点。
- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
- 不需要存储指针，比较节省空间。
- 允许随机访问节点。
然而，数组表示也存在一些局限性。
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
- 当二叉树中存在大量None时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。
四、二叉搜索树
「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件。
- 对于根节点，左子树中所有节点的值<根节点的值<右子树中所有节点的值。
- 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。
4.1 二叉搜索树的操作
我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。
-
查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。- 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
- 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
- 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用O(log n)时间。示例代码如下：
/* 查找节点 */
TreeNode search(int num) {
TreeNode cur = root;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != null) {
// 目标节点在 cur 的右子树中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 目标节点在 cur 的左子树中
else if (cur.val > num)
cur = cur.left;
// 找到目标节点，跳出循环
else
break;
}
// 返回目标节点
return cur;
}
- 插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示- 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至None）时跳出循环。
- 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于None的位置。
- 在代码实现中，需要注意以下两点。
- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
- 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至None时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
/* 插入节点 */
void insert(int num) {
// 若树为空，则初始化根节点
if (root == null) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode cur = root, pre = null;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != null) {
// 找到重复节点，直接返回
if (cur.val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子树中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子树中
else
cur = cur.left;
}
// 插入节点
TreeNode node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
-
删除节点
先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。
因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。
- 如图所示，当待删除节点的度为0时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
- 如图所示，当待删除节点的度为
时，将待删除节点替换为其子节点即可。
- 当待删除节点的度为2时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树<根节点<右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。
- 假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如图所示。
- 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
- 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。
删除节点操作同样使用O(log n)时间，其中查找待删除节点需要O(log n时间，获取中序遍历后继节点需要O(log n)时间
- 如图所示，当待删除节点的度为0时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
/* 删除节点 */
void remove(int num) {
// 若树为空，直接提前返回
if (root == null)
return;
TreeNode cur = root, pre = null;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while (cur != null) {
// 找到待删除节点，跳出循环
if (cur.val == num)
break;
pre = cur;
// 待删除节点在 cur 的右子树中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 待删除节点在 cur 的左子树中
else
cur = cur.left;
}
// 若无待删除节点，则直接返回
if (cur == null)
return;
// 子节点数量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
// 删除节点 cur
if (cur != root) {
if (pre.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
root = child;
}
}
// 子节点数量 = 2
else {
// 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
TreeNode tmp = cur.right;
while (tmp.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 递归删除节点 tmp
remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆盖 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
4.2 二叉搜索树的效率
| 无序数组 | 二次搜索树 | |
|---|---|---|
| 查找元素 | O(n) | O(log n) |
| 插入元素 | O(1) | O(log n) |
| 删除元素 | O(n) | O(log n) |
五、AVL树 *
在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。在这种情况下，所有操作的时间复杂度将从O(log n)恶化为O(n)。
5.1 AVL树常见术语
AVL 树既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树 balanced binary search tree」。
- 节点高度
由于 AVL 树的相关操作需要获取节点高度，因此我们需要为节点类添加 height 变量：
/* AVL 树节点类 */
class TreeNode {
public int val; // 节点值
public int height; // 节点高度
public TreeNode left; // 左子节点
public TreeNode right; // 右子节点
public TreeNode(int x) { val = x; }
}
“节点高度”是指从该节点到其最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为0，而空节点的高度为-1。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度：
/* 获取节点高度 */
int height(TreeNode node) {
// 空节点高度为 -1 ，叶节点高度为 0
return node == null ? -1 : node.height;
}
/* 更新节点高度 */
void updateHeight(TreeNode node) {
// 节点高度等于最高子树高度 + 1
node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
}
- 节点平衡因子
节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为0。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数。
/* 获取平衡因子 */
int balanceFactor(TreeNode node) {
// 空节点平衡因子为 0
if (node == null)
return 0;
// 节点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
return height(node.left) - height(node.right);
}
5.2 AVL树旋转
AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，旋转操作既能保持“二叉搜索树”的性质，也能使树重新变为“平衡二叉树”。
我们将平衡因子绝对值 >1 的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。
- 右旋
如图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 5”。我们关注以该失衡节点为根节点，将该节点记为 node ，其左子节点记为 child ，当节点 child 有右子节点（记为 grandChild ）时，需要在右旋中添加一步：将 grandChild 作为 node 的左子节点。执行“右旋”操作。完成右旋后，子树恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的性质。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上需要通过修改节点指针来实现，代码如下所示：
/* 右旋操作 */
TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.left;
TreeNode grandChild = child.right;
// 以 child 为原点，将 node 向右旋转
child.right = node;
node.left = grandChild;
// 更新节点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
- 左旋
相应地，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行“左旋”操作。同理，如图所示，当节点 child 有左子节点（记为 grandChild ）时，需要在左旋中添加一步：将 grandChild 作为 node 的右子节点。
可以观察到，右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的。基于对称性，我们只需将右旋的实现代码中的所有的 left 替换为 right ，将所有的 right 替换为 left ，即可得到左旋的实现代码：
/* 左旋操作 */
TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
TreeNode child = node.right;
TreeNode grandChild = child.left;
// 以 child 为原点，将 node 向左旋转
child.left = node;
node.right = grandChild;
// 更新节点高度
updateHeight(node);
updateHeight(child);
// 返回旋转后子树的根节点
return child;
}
- 先左旋后右旋
对于图中的失衡节点 3 ，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先对 child 执行“左旋”，再对 node 执行“右旋”。
- 先右旋后左旋
如图所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 child 执行“右旋”，再对 node 执行“左旋”。
| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
|---|---|---|
| > 1 （左偏树） | >= 0 | 右旋 |
| > 1（左偏树） | < 0 | 先左旋后右旋 |
| < -1（右偏树） | <= 0 | 左旋 |
| < -1 （右偏树） | > 0 | 先右旋后左旋 |
为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转，使失衡节点重新恢复平衡。
/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
TreeNode rotate(TreeNode node) {
// 获取节点 node 的平衡因子
int balanceFactor = balanceFactor(node);
// 左偏树
if (balanceFactor > 1) {
if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
// 右旋
return rightRotate(node);
} else {
// 先左旋后右旋
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
}
// 右偏树
if (balanceFactor < -1) {
if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
// 左旋
return leftRotate(node);
} else {
// 先右旋后左旋
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
}
// 平衡树，无须旋转，直接返回
return node;
}
5.3 AVL树常用操作
- 插入节点
AVL 树的节点插入操作与二叉搜索树在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。代码如下所示：
/* 插入节点 */
void insert(int val) {
root = insertHelper(root, val);
}
/* 递归插入节点（辅助方法） */
TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null)
return new TreeNode(val);
/* 1. 查找插入位置，并插入节点 */
if (val < node.val)
node.left = insertHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = insertHelper(node.right, val);
else
return node; // 重复节点不插入，直接返回
updateHeight(node); // 更新节点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}
- 删除操作
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
/* 删除节点 */
void remove(int val) {
root = removeHelper(root, val);
}
/* 递归删除节点（辅助方法） */
TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
if (node == null)
return null;
/* 1. 查找节点，并删除之 */
if (val < node.val)
node.left = removeHelper(node.left, val);
else if (val > node.val)
node.right = removeHelper(node.right, val);
else {
if (node.left == null || node.right == null) {
TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
// 子节点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
if (child == null)
return null;
// 子节点数量 = 1 ，直接删除 node
else
node = child;
} else {
// 子节点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个节点删除，并用该节点替换当前节点
TreeNode temp = node.right;
while (temp.left != null) {
temp = temp.left;
}
node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
node.val = temp.val;
}
}
updateHeight(node); // 更新节点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = rotate(node);
// 返回子树的根节点
return node;
}