整数规划2024.1.17

线性整数规划

        约束和目标函数均为线性，但变量值为整数。实际应用有去和不去、取和不取等01决策问题和物品不可拆分、所求人数等要求变量为整数的问题。

        指派问题

                

                每个任务指派一个人

                每个人只做一项任务

        旅行商问题

        从任意城市出发，每个城市只经过依次，任意两个城市之间通过有费用，问最终回到出发城市的最小费用。

                

                ，避免绕环

                

                

         指只进入一次，即的入度为1

         指从只出去一次，即的出度为1

•   
  • 定义为从出发点到的编号，起点编号为0，第二个到达点为1，依次增加。则
  • 若，则。若，则。
  • 对于不含子回路的路线，由于当时，只有。所以约定。一定满足。
  • 对于含子回路的路线，由于当时，不一定为，还可能有其他的边。，所以不满足约束
  • 所以约束排除了含有子回路的路线

 排斥约束线性化——利用01决策

        单端不等式之间的排斥约束

        有个互斥的不等式约束，每次满足一个即可。

                

        将不等式都化为同类型，则

                

        等式与双端不等式之间的排斥约束

                 或 

                

        扩展：

         有个等式和个双端不等式，将个等式放在个双端不等式中

                

            

         单端不等式可以转为双端不等式

                

                

          不等于约束可以转为两个互相排斥的单端不等式

                          

        例题：

         工厂生产产品有种方式，问生产一批产品所用的最小成本。

         定义：

                 表示采用第种方式生产的产品个数

                表示采用第种方式生产每件产品的变动成本（即额外成本）

                表示采用第种方式生产的固定成本（即必需成本）

        则每种生产方式对应的成本为

                

        分段函数，有两个互相排斥的约束，用01决策转化，则

                

                

        

                

整数规划典型题

       问题描述   

        10个站点，在站点上建立网点进行网络覆盖 。一个网点可以覆盖到与它距离小于等于10的站点，且一个网点最多只能覆盖5个站点。问如何建立最少的网点实现全覆盖。

        数据如下

竖着为一个站点坐标
9.4888	8.7928	11.5960	11.5643	5.6756	9.8497	9.1756	13.1385	15.4663	15.5464
5.6817	10.3868	3.9294	4.4325	9.9658	17.6632	6.1517	11.8569	8.8721	15.5868

        解题思路

•    
• 一个网点最多覆盖5个，且满足全覆盖，则
• 求出任意两个站点之间的距离，利用 （给10个坐标，返回10x10的矩阵）
• 一个网点可以覆盖到与它距离小于等于的站点，则
•  表示在处建立网点
• ，即
• ，

        

clc,clear,close all
c=load("data1.txt");
d=dist(c);
disp(d);
prob=optimproblem();
y=optimvar("y",10,10,"Type","integer","LowerBound",0,"UpperBound",1);

prob.Objective=sum(diag(y));
prob.Constraints.con1=sum(y,1)>=1;
prob.Constraints.con2=sum(y,2)<=5;

con3=[];con4=[];con5=[];
for i=1:10
    
    for j=1:10
        con3=[con3;d(i,j)*y(i,j)<=10];
        con4=[con4;y(i,i)>=y(i,j)];
    end
end
prob.Constraints.con3=con3;
prob.Constraints.con4=con4;

[s,v]=solve(prob);
disp(s.y);
disp(v);

 可满足的方案有多种，但最小网点数为2