算法刷题day04

一、前缀和

标签：前缀和

题目描述：

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,1≤n,m≤100000,−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e6+10;

int n, m;
int s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i-1];
    }
    
    while(m--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

二、子矩阵的和

标签：前缀和

题目描述：

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,1≤q≤200000,1≤x1≤x2≤n,1≤y1≤y2≤m,−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1]);
    }
    
    return 0;
}

三、激光炸弹

标签：前缀和

题目描述：

地图上有 N 个目标，用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 Wi。

注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x，y 轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

输入格式
第一行输入正整数 N 和 R，分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量，数据用空格隔开。

接下来 N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi，分别代表目标的 x 坐标，y 坐标和价值，数据用空格隔开。

输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

数据范围
0≤R≤109
0

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5010;

int n, m;
int s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    m = min(5001, m);
    int maxx = m, maxy = m;
    while(n--)
    {
        int x, y, w;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
        x++, y++;
        maxx = max(maxx, x), maxy = max(maxy, y);
        s[x][y] += w;
    }
    
    for(int i = 1; i <= maxx; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= maxy; ++j)
        {
            s[i][j] = s[i][j] + s[i][j-1] + s[i-1][j] - s[i-1][j-1];
        }
    }
    
    int res = 0;
    //cout << m << endl;
    for(int i = m; i <= maxx; i ++)
    {
        for(int j = m; j <= maxy; j ++)
        {
            int t = s[i][j] - s[i][j-m] - s[i-m][j] + s[i-m][j-m];
            //printf("%d\n", res);
            res = max(t, res);
        }
    }
    
    // for(int i = 1; i <= 2; ++i)
    // {
    //     for(int j = 1; j <= 2; ++j)
    //     {
    //         printf("%d ", s[i][j]);
    //     }
    //     puts("");
    // }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

四、K倍区间

标签：前缀和

题目描述：

给定一个长度为 N
 的数列，A1,A2,…AN
，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…Aj
 之和是 K
 的倍数，我们就称这个区间 [i,j]
 是 K
 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K
 倍区间吗？

输入格式
第一行包含两个整数 N
 和 K
。

以下 N
 行每行包含一个整数 Ai
。

输出格式
输出一个整数，代表 K
 倍区间的数目。

数据范围
1≤N,K≤100000
,
1≤Ai≤100000
输入样例：
5 2
1
2
3
4
5
输出样例：
6

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n, k;
LL s[N], cnt[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        scanf("%lld", &s[i]);
        s[i] += s[i-1];
    }
    
    LL res = 0;
    cnt[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        res += cnt[s[i] % k];
        cnt[s[i]%k]++;
    }
    
    printf("%lld\n", res);
    
    return 0;
}

五、总结

• 前缀和：计算区间大小l~r:s[r]-s[l-1]，下标从1开始