欧拉函数 笔记

复习：欧拉筛

int cnt,prime[10000005],n;
bool vis[100000005];
void olaprime(){
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
}

线性筛模板

题目描述

给定一个范围 $[1,n]$ ，有 $q$ 次询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入描述

第一行两个正整数 $n,q(2\le n\le 1e8,1\le q\le 1e6)$
接下来 $q$ 行，代表 $q$ 次询问。每次询问给定一个正整数 $k$ ，保证 $k$ 合理。

输出描述

对于每次询问，输出第 $k$ 小的素数。

样例输入

100 5
1
2
3
4
5

样例输出

2
3
5
7
11

#include
using namespace std;
int cnt,prime[10000005],n,q,k;
bool vis[100000005];
void olaprime(){
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    olaprime();
    for(int i=1;i<=q;i++){
        scanf("%d",&k);
        printf("%d\n",prime[k]);
    }
    return 0;
}

数论函数

积性函数

对于两个互质的正整数 $n,m$ 如果满足：

$f(mn)=f(m)f(n)$

那么 $f(x)$ 为 积性函数

如果任意 $n,m$ 都满足，哪么称之为 完全积性函数

$f(x)=1$就是一个完全积性函数，这个函数是一个常见的数论函数，叫做常数函数

以下函数都是数论函数：

$f(x)=[x=1]$是完全积性函数：

$$f(n)\times f(m)=\{\begin{array}{c}1n=1,m=1\\ 0else\end{array}=f(nm)$$

这个函数叫做单位函数一般写为：$ϵ(n)=[n=1]$

$f_k(n)={\sum }_{d|n}{d}^k$ 这是一个积性函数，但不是完全积性函数

这种函数被称作除数函数。记作：

${\sigma }_k(n)={\sum }_{d|n}{d}^k$

$f(n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$是积性函数，即欧拉函数，通常被写作：
$\varphi (n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$

求的就是小于等于 $n$ 与其互质的数的个数

又写作：
$\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

莫比乌斯函数等也是积性函数

欧拉函数

$n$ 可以写成如下形式：
$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_m^{k_m}$

可得如下性质：
$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

又因为其为积性函数，我们可以得到：
$\varphi (n)$
$=\varphi (p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_m^{k_m})$
$=\varphi (p_1^{k_1})\varphi (p_2^{k_2})...\varphi (p_m^{k_m})$
$=(p_1^{k_1}-p_1^{k_1-1})(p_2^{k_2}-p_2^{k_2-1})...(p_m^{k_m}-p_m^{k_m-1})$
$=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_m^{k_m}{\prod }_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$
$=n{\prod }_{i-1}^m(1-\frac{1}{p_i})$
$=n{\prod }_{i-1}^m\frac{p_i-1}{p_i}$

欧拉定理

若 $a$ 与 $m$ 互质，则：
$$a^{\varphi (m)}\equiv 1(modm)$$

这就是欧拉定理

如果 $p$ 是质数，那么：
$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

例题

1.求欧拉函数

题目描述

输入 $n$ ，请输出 $\varphi (n)$ 的值。
输入描述

多组输入。每组输入一个整数 $n(n\le 1e9)$ 。当输入的 $n=0$ 时结束。

输出描述

对于每组输入，输出一个整数表示答案。

样例输入

7
12
0

样例输出

6
4

#include
using namespace std;
long long n,ans;
void fun(){
	int m=sqrt(n);
	ans=n;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0){
				n/=i;
			}
		}
	}
	if(n>1){
		ans=ans/n*(n-1);
	}
	return ;
}
int main(){
	while(scanf("%lld",&n)&&n!=0){
		fun();
		printf("%lld\n",ans);
	}
    return 0;
}