动态规划（2）——近似字符串的最小编辑距离

参考链接：https://www.cnblogs.com/jiabei521/p/3353390.html

字符串的编辑距离也被称为距Levenshtein距离（Levenshtein Distance），属于经典算法，常用方法使用递归，更好的方法是使用动态规划算法，以避免出现重叠子问题的反复计算，减少系统开销。

问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符。
其实这个问题的关键是要求两个字符串的编辑距离
例如 将aproxiomally一字转成approximatly：

1、 approxiomally （null→p）插入
2、approximally （o→null）删除
3、approximatly （l→t）修改

下面我们就针对这个问题来详细阐述一下：
我们假定函数dist(str1, str2)表示字串str1转变到字串str2的编辑距离，那么对于下面3种极端情况，我们很容易给出解答（0表示空串）。

1、dist(0, 0) = 0
2、dist(0, s) = strlen(s)
3、dist(s, 0) = strlen(s)

对于一般的情况，dist(str1, str2)我们应该如何求解呢？

假定我们现在正在求解dist(str1+char1, str2+char2)，也就是把"str1+char1"转变成"str2+char2"。在这个转变过称中，我们要分情况讨论：

1、 str1可以直接转变成str2。这时我们只要把char1转成char2就可以了（如果char1 != char2）。
2、 str1+char1可以直接转变成str2。这时我们处理的方式是插入char2。
3、str1可以直接转成str2+char2。这时的情况是我们需要删除char1。

综合上面三种情况，dist(str1+char1, str2+char2)应该是三者的最小值。

解析：

首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离。

显然可以有如下动态规划公式：

if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
if i ≥ 1  且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

我们建立以下表格，将两个字符串按照表格1所示的样子进行摆放，规则按照以上公式进行输入，如下所示：

计算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 1，edit(1, 0) + 1 == 1，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 0 == 0，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==0，因此edit(1, 1) == 0。依次类推，有如下表格所示最终的矩阵：

动态规划表

此时右下角即为我们所需要的两个字符串的编辑距离。即字符串 "aproxiomally"和"approximatly"的编辑距离为3.

有了以上的步骤，相信大家已经很清楚了，使用动态规划算法的时候，需要建立子问题的表格，以上的表格就是。而且我们能够很容易的使用二维数组建立。代码实现也就易如反掌了！

以下是我的实现过程，希望对大家有用，如果有什么可以优化或者错误的地方，希望能够得到批评指正

import numpy as np

'''
函数说明：计算近似字符串的逻辑距离
parameter：
    str1
    str2
return：
    distance
'''

def string_distance(str1,str2):
    m = str1.__len__()
    n = str2.__len__()
    distance = np.zeros((m+1,n+1))

    for i in range(0,m+1):
        distance[i,0]=i
    for i in range(0,n+1):
        distance[0,i]=i
    for i in range(1,m+1):
        for j in range(1,n+1):
            if str1[i-1]==str2[j-1]:
                cost =0
            else:
                cost=1
            distance[i,j]=min(distance[i-1,j]+1,distance[i,j-1]+1,distance[i-1,j-1]+cost)
    print(distance)
    return distance[m,n]



if __name__=='__main__':
    a='aproxiomally'
    b='approximatly'
    result = string_distance(a,b)
    print(result)

结果：

最小编辑距离

由图可知，与我们的动态规划表推出的结果一致。