数字图像处理 阮秋琦 期末复习 #1 绪论及正交变换

考试范围：

• 第三章 图像处理中的正交变换
• 第四章 图像增强
• 第五章 图像编码
• 第六章 图像复原
• 第八章 图像分析

绪论

图像是一种数据结构，笼统来说是一个二维矩阵，每一个点的信息共同组成了视觉平面

数字图像处理的方法

根据上文，数字图像处理的第一种方案是空域法，因为它们是在图像的空间域（spatial domain）中操作的。空域是指图像的像素空间，也就是图像中每个像素的位置和像素值的空间布局。因此，空域法是直接在图像的原始表示中进行操作的方法。
具体来说包括：

1. 点处理法（Point Processing）是对图像中的每个像素进行独立的操作，而不考虑像素周围的上下文，有灰度调整、直方图均衡化、颜色调整等。
2. 邻域处理法（Neighborhood Processing）邻域处理法涉及到像素周围的像素值，通常使用滤波器或卷积核进行操作。有平滑滤波、锐化滤波、中值滤波、边缘检测等。

注意到，上述研究方法是一种离散和拆分的视角，如果把图像看作整体的对象，研究它具有什么样的特征和成分，则出现了第二种方案即频域法：

• 首先对图像进行正交变换，得到变换域系数阵列， 然后再施行各种处理，处理后再反变换到空间域，得到处理结果。包括：滤波、数据压缩、特征提取等。

第三章 正交变换

为什么采用正交变换？
因为正交性保证了不同频率成分之间是相互独立的，将图像从时域转到频域的过程中也就完成了分析。同时保证信号的总能量不变、易于进行逆变换。
具体来说，对于傅里叶变换
$$F(\omega )=\int f(t)e^{-j\omega t}dt$$
有：
$$\int e^{-j{\omega }_{1}t}{e}^{j{\omega }_{2}t}dt=2\pi \delta ({\omega }_1-{\omega }_2)$$
若${\omega }_1={\omega }_2$则整体为1，若不相等（频率不一致）则该项化为0
对于沃尔什变换
则有：
$$\sum w_i(n)w_j(n)=N{\delta }_{ij}$$
其中$w_i,w_j$一致时项为1，不一致时化为0

3.1 傅里叶变换

3.1.1 傅里叶变换性质

1. 可分性：二维傅里叶变换可由两重一维傅里叶变换实现：$$F(u,v)=\int \int f(x,y)e^{-j{\omega }_{1}x}{e}^{-j{\omega }_2}dxdy$$ $$F(u,v)=\int [\int f(x,y)e^{-j{\omega }_{1}x}dx]e^{-j{\omega }_{2}y}dy$$ $$F(u,v)=\int {\mathcal{F}}_x[f(x,y)]\cdot e^{-j{\omega }_{2}y}dy$$ $$F(u,v)={\mathcal{F}}_y[{\mathcal{F}}_{x}f(x,y)]$$ $$(2\pi u,2\pi v)=({\omega }_1,{\omega }_2)$$
2. 线性性：$$\mathcal{F}[af(x,y)+bg(x,y)]$$ $$=a\mathcal{F}[f(x,y)]+b\mathcal{F}[g(x,y)]$$
3. 共轭对称性：$$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$$
4. 旋转性：信号在时域中的移位，将导致傅里叶变换中的相位旋转。$$f(r,\theta +{\theta }_0)\iff F(k,\varphi +{\theta }_0)$$
5. 比例变换性质：$$af(x,y)\iff aF(u,v)$$ $$f(ax,by)\iff \frac{1}{|ab|}F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})$$
6. 帕斯维尔定理：变换前后不损失能量$$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}|f(x,y){|}^{2}dxdy=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}|F(u,v){|}^{2}dudv$$
7. 相关定理：$$没看懂$$
8. 卷积定理：两个信号在时域中的卷积等于它们在频域中的傅里叶变换的乘积。$$\int \int f(\alpha ,\beta )g(x-\alpha ,y-\beta )d\alpha d\beta =f(x,y)\ast g(x,y)=F(u,v)\cdot G(u,v)$$

3.1.2 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换的一种形式，用于将离散信号（图像）从时域转换到频域。
假设有一个长度为$N$的离散信号序列$x[n]$，其中$n=0,1,2,\dots ,N-1$，离散傅里叶定义如下：$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$
其中$k=0,1,2,\dots ,N-1$表示频域中的离散频率
逆变换表示为：$$X^{-1}(k)=x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{j\frac{2\pi kn}{N}}$$

1. 线性性：$$ax(n)+by(n)\iff aX(m)+bY(m)$$
2. 对称性：$$\frac{1}{N}X(n)\iff x(-m)$$
3. 时间移位：$$x(n-k)=X(m)\cdot e^{-j\frac{2\pi }{N}km}$$
4. 频率移位：$$X(m-k)=x(n)\cdot e^{-j\frac{2\pi }{N}(-kn)}$$
5. 卷积定理：$$x(n)\ast y(n)=X(M)\cdot Y(M)$$ $$X(M)\ast Y(M)=x(n)\cdot y(n)$$
6. 帕斯维尔定理：$$\sum _{n=0}^{N-1}{x}^2(n)=\frac{1}{N}\sum _{m=0}^{N-1}|X(m){|}^2$$ （用$\sum _{n=0}^{N-1}$代替$\int dx$）

3.1.3 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种算法。这种方法利用傅里叶变换的对称性和周期性，通过将 DFT 分解为多个规模较小的 DFT消除了离散傅里叶的多余运算，时间复杂度为$O(NlogN)$，在某些应用场合已能作到实时处理。

对于离散傅里叶变换：$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}X(m)\cdot e^{-j\frac{2\pi }{N}->mn}$$ $$X(m)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)\cdot e^{-j\frac{2\pi }{N}mn}$$
以$W=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$展开得到
$X(0)=x(n=0)W^{0\ast n=0}+x(n=1)W^{0\ast n=1}+\cdots +x(N-1)W^{0(N-1)}$
$X(1)=x(n=0)W^{1\ast n=0}+x(n=1)W^{1\ast n=1}+\cdots +x(N-1)W^{1(N-1)}$
$X(2)=x(n=0)W^{2\ast n=0}+x(n=1)W^{2\ast n=1}+\cdots +x(N-1)W^{2(N-1)}$
$\dots$
$$X(N-1)=x(n=0)W^{(N-1)\ast n=0}+x(n=1)W^{(N-1)\ast n=1}+\cdots +x(N-1)W^{(N-1)\ast (N-1)}$$
要完成DFT，需要$N^2$次乘法和$N(N-1)$次加法

对于$W_N^m=e^{-j\frac{2\pi }{N}m}$，因有$W_N^m=W_{2N}^{2m}（偶），W_N^{m+\frac{N}{2}}=-W_N^m（奇）$可以进行化简：

1. 按时间分解：

把$x(n)$分成偶数点和奇数点，有
$$x_1(n)=x(n)$$
$$x_2(n)=x(2n+1)$$
得到算法流程图：

2. 按频率分解：

把$x(n)$分成偶数点和奇数点，即：
$$x_1(n)=x(2n)$$
$$x_2(n)=x(2n+1)$$
得到算法流程图：

3.2 沃尔什变换

FFT需要用到复数乘法，运算负担较大，因此引入了更快的沃尔什变换。

3.2.1 沃尔什函数

沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集，沃尔什函数是定义在半开区间 [0,1) 的矩形波族, 每个矩形波有一个编号 $n(n=0,1,2,3,\dots )$，，满足封闭性，构成群。

按沃尔什排列的沃尔什函数表达式为：$$wal(i,t)=\prod _{k=0}^{P-1}[R(k+1,t){]}^{g(i{)}_k},g(i)\in 0,1$$
沃尔什函数的性质：

1. 在区间$[0,1]$有$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(0,t)dt=1$$ $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)dt=0,i>0$$ $$[wal(i,t){]}^2=1,i=0,1,2,3,\dots$$
2. 在第一小段时间内总是取$+1$
3. 乘法定理（服从结合律）：$$wal(i,t)\cdot wal(j,t)=wal(i\oplus j,t)$$ 其中$\oplus$为模二加法
4. 沃尔什函数有归一化正交性：$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)\cdot wal(j,t)dt=\{\begin{array}{ll}0,& \text{i}\ne j\\ 1,& \text{i}=j\end{array}$$

3.2.2 离散沃尔什变换

离散沃尔什变换的表达式为：$$W(i)=\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}f(t)\cdot wal(i,t)$$ $$f(t)=\sum _{i=0}^{N-1}W(i)\cdot wal(i,t)$$
离散沃尔什－哈达玛变换的表现形式如下：
[ W ( 0 ) W ( 1 ) ⋮ W ( N − 1 ) ] = 1 N [ H ( N ) ] [ f ( 0 ) f ( 1 ) ⋮ f ( N − 1 ) ] \begin{bmatrix} W(0) \\ W(1) \\ \vdots \\ W(N-1) \end{bmatrix} =\frac{1}{N}[H(N)]\begin{bmatrix} f(0) \\ f(1) \\ \vdots \\ f(N-1) \end{bmatrix} ​W(0)W(1)⋮W(N−1)​ ​=N1​[H(N)] ​f(0)f(1)⋮f(N−1)​ ​

离散沃尔什－哈达玛变换的性质：

1. 线性性：$$a\{f_1(t)\}+b\{f_2(t)\}\iff a\{W_1(n)\}+b\{W_2(n)\}$$
2. 模2移位：$\{z(m)\}=f(t\oplus l)是f(t)$的模2移位序列
3. 模2移位时间卷积定理：$\{f_1(t)\},\{f_2(t)\}$是两个长度相同的周期性序列，则定义两个序列的模2移位卷积：$$C_{12}(t)=\frac{1}{N}\sum _{l=0}^{N-1}{f}_1(l)\cdot f_2(t\oplus l)$$ 如果$$\{f_1(t)\}\iff \{W_1(n)\}$$ $$\{f_2(t)\}\iff \{W_2(n)\}$$ 则可证$$\{C_{12}(t)\}\iff \{W_1(n)\cdot W_2(n)\}$$

3.3 算法考点

3.3.1 计算快速傅里叶变换

3.3.2 证明沃尔什变换模2移位时间卷积定理

证明：
用$\mathcal{W}$表示沃尔什变换，则
$\mathcal{W}[C_{12}(t)]=\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{C}_{12}\cdot wal(n,t)$
$=\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}[\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{f}_1(l)\cdot f_2(t\oplus l)]\cdot wal(n,l)$
$=\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{f}_1(l)[\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{f}_2(t\oplus l)\cdot wal(n,t)]$
$=\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{f}_1\cdot W_2(n)\cdot wal(n,l)$
$=W_2(n)\cdot [\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}{f}_1(l)\cdot wal(n,l)]$
$=W_2(n)\cdot W_1(n)$

3.3.3 证明沃尔什函数有归一化正交性

证明：
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)\cdot wal(j,t)dt=\{\begin{array}{ll}0,& \text{i}\ne j\\ 1,& \text{i}=j\end{array}$$
由乘法定理有：
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)\cdot wal(j,t)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i\oplus j,t)dt$
$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(l,t)dt$，其中$l=i\oplus j$
根据$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(0,t)dt=1$$ $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)dt=0(i>0)$$
所以当$i=j=0$时，有$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)\cdot wal(j,t)dt=1$$
否则$i\ne j$，则$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}wal(i,t)\cdot wal(j,t)dt=0$$
正交性得证