第六章:树的基本知识点

• 树的定义
  树是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。
  在任意一颗非空树中:
  (1) 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点
  (2) 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2......Tn，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)

  
  
  图1
  
  

  ps:n>0时根结点是唯一的，m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的，如下图就不符合。

  
  
  图2
• 结点分类

1. 树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支
2. 结点拥有的子树树称为结点的度(Degree)
3. 度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点
   4)度不为0的结点称为非终端结点或分支结点

4. 除根结点外，分支结点也称为内部结点
   6)树的度是树内各结点的度的最大值
   如下图，树结点的度最大值是结点D的度为3，所以树的度也为3

   
   
   图3

• 结点间关系

1. 结点的子树的根称为该结点的孩子(Child),相应地，
2. 该结点称为孩子的双亲(Parent)。
3. 同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
4. 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点
   如下图对于H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I
   
   图4
   
   5)结点的层次(Level)从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第L层，则其子树的根在第L+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然，图5中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树的深度或高度，当前树的深度为4。
   
   图5
   
   6)若将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
   7)森林(Forest)是m(m>=0)颗互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

树的基本操作

• 双亲表示法
  假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。它的结点结构为图6所示:

  
  
  图6
  
  

  其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。

• 孩子表示法
  多重链表表示法:每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一颗子树的根结点。
  方案一:指针域的个数等于树的度，结构如图7所示：

  
  
  图7
  
  

  data是数据域，child1到childn为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。
  实现如图8

  
  
  图8

方案二:每个结点指针域的个数等于该结点的度，取一个位置来存储结点指针域的个数，如图9所示。

图9

data是数据域，degre为度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数，child1到childn为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。

实现如图10:

图10

具体实现:每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则次单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中，如图11所示

i图11

• 双亲孩子表示法
  在孩子表示法的基础上把双亲加进去。

  
  
  图12

• 孩子兄弟表示法
  任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。如图13所示

  
  
  图13
  
  

  data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
  实现示意图如图14所示:

  
  
  图14
  
  图14可以变形为图15的样子，即二叉树。
  
  图15