De Bruijn序列的生成及其应用

上次美团的面试题：

   首先回顾一下题意：

分析可知 ：
（1）长度为 n的 01 串集合 S共有 个元素 ；
（2）在一个长度为m的01串中找出所有长度为m的循环子串，最多有m个（不重复的情况下），那么我们要求的B串长度最短也要2ⁿ，而且B串的每个长度为n的子串都不重复。

我们想一下，对于B串任意两个相邻的子串（长度为n），前一个子串舍去首字母，在尾部追加0或者1，变成另一个子串；如果我们把这种变化看成一条有向边，每个长度为n的子串看成一个节点，显然，每个节点出度均为2，入度也为2（因为每个节点都仅由两个节点变来）。如下图：（N=2）

如果我们能够找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路，这个问题也就是经典的Hamilton回路问题，而这条路径就是要找的B串。如上图，我们找到一条Hamilton回路：00->01->11->10 ->00，对应的路径为：1100.

经过上面的分析，找到一种解决问题的方法：建图+找Hamilton回路。而寻找Hamilton回路是个NP完全问题，但由于这个问题的特殊性，每个点的出度均为2，搜索时间复杂度为O(2ⁿ)。

还有一个细节，图中的每个节点如何表示？

前面的分析可知，将每个子串对应成二进制，正好与区间[0,2^n)内每一个整数一一对应，于是我们直接用[0,2^n)的整数表示节点编号，通过位运算到达相邻的节点。

问题分析到这里似乎将要告一段落，但是仔细分析上面的图，看边上的数字，好像正好构成n=3的所有01串的集合，我们找到一个经过所有边的一次仅且一次的环，环路上的红色数字就是n=3时的B串。而这个问题正是经典的Euler回路问题。

图中每个节点的出度和入度均为2，这个图一定存在Euler回路。接下来直接找一条Euler回路就可以解决这个问题了。

 

综上所述，解决这个问题的时间复杂度O(2ⁿ)，空间复杂度O(2ⁿ)。