【校验码】奇偶校验码、循环冗余校验码CRC、海明校验码

校验码

1. 校验码

• 定义：校对检验编码。用于验证数据完整性和准确性的技术
• 实现原理：通过加冗余码，用于在传输或存储过程中检测错误或篡改
• 目的：当数据从一个地方传输到另一个地方时，可能会受到各种干扰，比如噪音、信号衰减、数据损坏、恶意攻击者篡改数据。

2. 码距

• 单个编码的码距为1

例如：编码A是00，因为其只需要改变一位就变成另一个编码，所以码距为1

• 在两个编码中，从A码到B码转换所需要改变的位数称为码距
  （两个编码在相同位置上有多少个元素不同，码距就是几）

例如：编码A是101010，编码B是111000，在相同位置上有2个元素值不同，所以码距为2

• 码距越大，越利于纠错和检错

较大的码距意味着两个序列之间的差异较大，即在更多的位置上存在不同的元素。在错误检测和纠错编码中，通过使用码距较大的编码方案，可以提供更强大的纠错能力。

冗余位的添加是基于码距的概念，通过增加冗余位，从而增加码距，使得在一定范围内的错误能够被检测和纠正。

3. 奇偶校验码

在编码中增加1位校验位来使编码中1的个数为奇数 (奇校验)或者偶数(偶校验)，从而使码距变为2

• 奇校验：编码中有奇数个1，发送给接收方，接收方收到后，会计算收到的编码有多少个1，如果是奇数个，则无误，是偶数个，则有误
• 偶校验：编码中有偶数个1
• 奇偶校验：只能检测1位错，无法检查出偶数个错误，并且无法纠错

假设计算机规定好的是奇校验，发送方发送的编码是01101 0，而接收方收到的是11111 0，但是奇数个1，符合奇校验，但有两个0变成了1，所以奇偶校验只能检测出1位错误，且没法纠错。

4. 循环冗余校验码CRC

只能检错，不能纠错

原理：发送方和接收方事先约定一个生成多项式G(x)，将原始报文除以多项式生成的除数，将所得的余数作为校验位加在原始报文之后，作为发送数据发给接收方

即循环冗余校验码CRC由两部分组成，K位信息码（原始数据）+ R位校验码
校验码是由信息码产生的，校验码位数越长，校验能力越强

例如：原始报文为11001010101，其生成多项式为：x⁴+x³+x+1，对其进行CRC编码后的结果为?

• 构造被除数：多项式的最高幂为几，就在原始报文的末尾加几个0
  多项式 x⁴+x³+x+1的最高次幂是4，所以在原始报文11001010101后面加4个0，即110010101010000
• 构造除数：由高次幂到低次幂，有幂指数的则为1，无幂则为0
  x⁴、x³、x（x¹）、1（x⁰）都有幂指数，但没有x²。所以，从左往右，从高幂到低幂写，除数为11011
• 模2整除：按位运算，不发生借位和进位，而是异或运算；商一直上1，不需要管是0还是1；余数的位数应与多项式的最高次数相同，如果位数不够则在余数前面补0
• 最终得到四位数的余数：0011，所以在原始报文11001010101后面加上余数0011，得到110010101010011，并发送出去。
• 接收方将收到的数据110010101010011与多项式的11011进行模2运算，若余数为0，说明校验正确，数据传输正确。

         ---------------------
11011  |   110010101010000         
           11011
          ---------------
              10010 （异或运算，同0非1，最高位得到1则停止，后面从被除数补足与除数相同的位数）
              11011
            ---------------
               10011
               11011
              ---------------
                10000
                11011
                ---------------
                 10111
                 11011
                ---------------
                  11000
                  11011
                 ---------------
                     11000
                     11011
                  ---------------
                      0011

从网上拉了个图（from imByte），更加清楚

例如：待发送的信息为101001，生成多项式为G(x)= x ³+ x²+ 1，计算余数

例如：接收到的信息为101101001，生成多项式为 G(x)= x³+ x²+ 1，判断传输是否误码?

【解析】接收到的信息作为被除数，多项式不变构造除数，做除法运算，如果得到的余数为0，表示数据传输正确。

【例题】循环冗余校验码 (cyclic Redundancy check ，CRC)是数据通信领域中最常用的一种差错校验码，该校验方法中，使用多项式除法（模2 除法） 运算后的余数为校验字段。若数据信息为n位，则将其左移k位后，被长度为k+1位的生成多项式相除，所得的k位余数即构成k个校验位，构成n+k位编码。若数据信息为1100，生成多项式为 x³+x+1 (即1011)， 则CRC编码是 ( )

A.1100010
B.1011010
C.1100011
D.1011110

【答案】A

【解析】（1）在原始信息位后加k个000，即1100000 （2）将1100000与生成多项式1011做模2除法，得到余数为010 （3）将原始信息位与余数连接起来得到: 1100010
ps：将数据信息左移k位是指在数据信息位后面添加k个0

5. 海明校验码

本质也是利用奇偶性来检错和纠错的检验方法，构成方法是在数据位之间的确定位置上插入k个校验位，通过扩大码距实现检错和纠错。

设数据位是n位，校验位是k位，则n和k必须满足以下关系： 2^k>= n + k + 1（已知信息位有多少，求校验位位数）

例如：求信息位1011的校验位数

【解析】数据位有4位，2 ^k ≥ 5 + k，k = 3，所以校验位有3位

例如：求信息1011的海明码

（1）确定校验位的位数和具体位置

1. 编号：从最低位编号，从1开始递增
2. 确定校验位的位置：校验位处于2的n次幂（ n = 0 1 2…）的位置上 ，即处于第1、2、4、8、16、32…位上
3. 填充数据位（信息位）：其余位填充真正的数据位（信息位）

该题中，信息数据为1011，先确定第1、2、4位为校验位，后填充第3、5、6、7位为数据位（信息位只有4位），用来从数据位低位开始存放1011

7	6	5	4	3	2	1	位数
I4	I3	I2		I1			信息位
			r2		r1	r0	校验位

7	6	5	4	3	2	1	位数
1	0	1		1			信息位
			r 2		r 1	r 0	校验位

（2）计算校验位

1. 将信息位所在的编号拆分成校验位所在的编号，目的是看第几位数是由哪些校验位校验的

• 7 = 4 + 2 + 1，即第7位信息位是由第4位校验位（r₂）和第2位校验位（r₁）和第1位校验位（r₀）共同校验的
• 6 = 4 + 2，即第6位信息位是由第4位校验位（r₂）和第2位校验位（r₁）共同校验的
• 5 = 4 + 1，即第5位信息位是由第4位校验位（r₂）和第1位校验位（r₀）共同校验的
• 3 = 2 + 1，即第3位信息位是由第2位校验位（r₁）和第1位校验位（r₀）共同校验的

2. 分别求第4位校验位（r₂）和第2位校验位（r₁）和第1位校验位（r₀）的值
   有出现的地方，进行异或运算

• 第4位校验位校验第7、6、5三位数据位，因此，第4位校验位r₂ = 这三位数据位的值异或
  第4位校验位r₂ = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 1 = 0

• 第2位校验位校验第7、6、3两位数据位，因此，第2位校验位r₁ = 这三位数据位的值异或
  第2位校验位r₁ = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 ⊕ 1 = 0

• 第1位校验位校验第7、5、3两位数据位，因此，第1位校验位r₀ = 这三位数据位的值异或
  第1位校验位r₀ = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1

计算出三个校验位后，数据位之间的确定位置上插入k个校验位后，可知最终要发送的海明校验码为1010101

7	6	5	4	3	2	1	位数
1	0	1		1			信息位
			0		0	1	校验位

（3）检错和纠错原理
接收方收到海明码之后，会将每一位校验位与其校验的位数分别异或，如果是偶校验，那么运算得到的结果应该全为0，如果是奇校验，应该全为1，才是正确。

假设是偶校验，且接收到的数据为1011101 (第四位出错，上文计算的海明校验码是1010101) ，说明接收方收到的校验位是101，而不是正确的001。

原始表格

7	6	5	4	3	2	1	位数
I4	I3	I2		I1			信息位
			r2		r1	r0	校验位

后续表格（含错误的校验位）

7	6	5	4	3	2	1	位数
1	0	1		1			信息位
			1		0	1	校验位

此时，运算的结果为:

r₂ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₂ = 1 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1
r₁ ⊕ I₄ ⊕ I₃ ⊕ I₁ = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
r₀ ⊕ I₄ ⊕ I₂ ⊕ I₁ = 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0

这里不全为0，表明传输过程有误，并且按照r₂ r₁ r₀排列为二进制100，这里指出的就是错误的位数，表示第100，转化为十进制是4，即第4位出错，找到了出错位，纠错方法就是将该位逆转，所以第4位校验码变为0即可。ps：进制之间的转换

总结

奇偶校验码就是在原始信息位后面加1个校验位
循环冗余码CRC就是在原始信息位后面加R个校验位
海明校验码就是在原始信息位之间插入K个校验位