字符串匹配算法--数据结构与算法之美--CH32

1. 什么是字符串匹配

  “字符串匹配”就是在一个长字符串A中搜索一个短的字符串B，此时A称为主串，B称为模式串。
  把主串A的长度记作 n，模式串B的长度记作 m，因为在主串中查找模式串，所以 n>m。

2. 如何实现字符串匹配

  现实开发中，很多语言都内置了字符串匹配算法，java中的indexOf()，python中的find()，而本节要学习的是这些算法的底层实现。

2.1 BF算法

  BF（Brute Force）算法是一种暴力匹配算法，其思想一句话概括：在主串中检查起始位置分别是0，1，2…n-m且长度为m的n-m+1个子串，看有没有跟模式串匹配的。如下图所示：

时间复杂度分析：
  每个模式串长度为m，最坏情况下要比较n-m+1次，因此时间复杂度为$O(n\ast m)$。

2.2.1 BF算法常用原因

  尽管BF算法的时间复杂度很高，但是他有两个优点，使得其很常用。

1. 实际开发中，模式串和主串都不会太长，而且大部分查找，找到了可以提前终止，因此统计学意义上的效率比较高。
2. 朴素匹配算法思想简单，算法不容易出错，因此工程上满足性能前提下，简单就是首选。

2.2 RK算法

  RK算法基于BF算法进行优化，利用hash算法将主串中的n-m+1个子串分别求hash值，然后利用hash值就行比较，这样省去了逐个字符比较。不考虑hash冲突的情况下，如下图所示：

RK算法时间复杂度：
  模式串与子串hash值比较时间复杂度为$O(1)$，共需要比较n-m+1次，因此时间复杂度为$O(n)$。

2.2.1 hash 算法的设计

  由于计算子串hash值时需要遍历每个字符，尽管模式串与子串比较效率提高了，但是算法整体效率并没提高。因此需要对hash算法进行合理设计。
  比如要处理的字符串只包含 a～z 这 26 个小写字母，那就用二十六进制来表示一个字符串。把 a～z 这 26 个字符映射到 0～25 这 26 个数字，a 就表示 0，b 就表示 1，以此类推，z 表示 25。计算如下图所示，对比十进制：

  这样设计的hash算法，相邻两个子串s[i-1]和s[i]的hash值有一定规律，计算完成s[i-1]可以很快算出s[i]，如下图所示：

  由于每次计算$26^{(}m-1)$，因此可以做预处理，将$26^0$…$26^{(}m-1)$存入数组中，每次计算查表即可，省去了计算时间。
  这里体现出了一种思想，通过运算规律减少运算量，通过预处理减少运算量。

2.2.2 散列冲突处理

  上述hash算法设计固然好且一定不会出现散列冲突，但是如果字符串长度较长，则会导致超出计算机的整型值范围。这时候就需要折中设计一套相对简单，允许有hash冲突的算法。
  比如要处理的字符串只包含 a～z 这 26 个小写字母，把 a～z 这 26 个字符映射到 0～25 这 26 个数字，a 就表示 0，b 就表示 1，以此类推，hash算法将其字母相加。
  或者也可以见a-z的字符映射到素数，这样冲突概率会进一步降低。
  此时，遇到hash冲突的时候，在使用BF的强匹配就可以了。

3. 其他算法简介

  除了上述两种字符串匹配算法，还有经典的BM算法，KMP算法，Trie树，AC自动机。

1. BM算法和KMP算法两者基于BF算法进行优化，主要思路是BF算法每次向后移动以为，而BM利用“坏字符”和“好后缀”可以移动多位，KMP算法利用“坏字符”和“好前缀”移动多位。
2. Trie树是一种多模式匹配算法，Trie 树的本质，就是利用字符串之间的公共前缀，将重复的前缀合并在一起，形成一个多叉树，方便查找。主要应用于前缀匹配的字符串查找，比如“搜索引擎关键词提示功能”。
3. AC 自动机是多模式匹配算法，单模式串匹配算法是为了快速在主串中查找一个模式串，而多模式串匹配算法是为了快速在主串中查找多个模式串。他是基于 Trie 树的一种改进算法，它跟 Trie 树的关系，就像单模式串中，KMP 算法与 BF 算法的关系一样。

4. 思考总结

  字符串匹配算法的演进，其实就是一个典型的算法优化过程以及数据结构不断迭代的过程。

1. 时间复杂度大，先减少不必要的比较操作，然后里边具体的操作、查找，通过散列表或者预处理来优化。
2. 通过移动多位，减少比较次数。
3. BF到KMP的演进思想，next数组又应用到了Trie树到AC自动机的优化。

  这种演进思路，是以时间和空间复杂度为优化目标的迭代，这种优化思想是可以迁移到很多应用场景的。