1～6年级几何篇

  从一年级开始我们就已经在学习几何了，从一年级学到六年级的知识，其实就是围绕着一维线，二维面积，三维体积展开学习的。大体思路框架是这样的：

1～6年级几何篇框架

  整个脑图的核心也就是几何。让我们先来看第一个部分，也就是以一维的线。说到线我们都知道它分为三种，一个是射线。一个点沿一个方向无限延伸。另一种是直线，一条线过两点无限延伸。第三种是线段，这条线是两点之间最短的距离。但是对于这些线我们可以用来干什么呢？它到底有什么用处呢？古人当时为什么要让它诞生呢？首先在生活中有一些长度需要测量。这时它是一条线段，人们为了得知这一段距离的长度，开展了研究。那么我们必须需要一个测量基准，然后看有几个这样的测量基准，它就有多长。但我们必须统一测量基准，因为假如一个人说我的基准是这么长，而另一个人的基准比它的还要长，那这样最终测到的结果肯定是不一样的。所以首先人们要统一测量基准。这时肯定是哪个国家的实力强，谁就来规定。在那个时候，英国人较为的强大，所以他们统一了基准。分别是厘米，分米，米这三个常用测量基准。而这三者之间也有进制，比如十厘米等于一分米，十分米等于一米，一百厘米等于一米。这时有了统一的测量基准，我们只用看这一个线段的长度有几个这样的测量基准就可以了。而长度基准我们一般称它为系数，所以线段的长度就是系数乘数量，简称拉伸系数。

  在二维平面方面。就是在线的基础上又多了一个维度。在学二维的时候，我们最开始学习的是正方形和长方形的面积。首先，既然要研究一个长方形的面积，那我们可不可以先已知一个小正方形的面积，比如面积为一平方厘米。然后利用它来铺满这个长方形或者正方形，把所有的加在一起就是它的面积。我们可以先横着铺a个。然后在纵向铺b个。那一共就是b个a排，或者a个b列。其实用到的就是乘法。而用拉伸变换横着加一倍，其实就是加一个小正方形，最后再把所有的正方形加的一起就是它的面积。现在我们可以把边长为1cm的正方形所铺成的长和宽的边长之和相乘，最后的结果也就是正方形或长方形的面积，长乘宽或边长乘边长。接下来我们研究了三角形的面积。首先我看到一个三角形。他其实就是把长方形或正方形沿着一个对角线切开，平均分成的图形。找这个思想，这样分成的三角形的面积，其实就是正方形或长方形的面积除二。此时我们再来看一下。这时分成的是一个直角三角形，而这个直角三角形的底和高其实正好就是长方形的长和宽，也就是说这个直角三角形的面积等于底乘高除二。这样我们便顺理成章的得到了直角三角形的面积公式，可是三角形不只有直角三角形，我们还要验证一下其他的三角形是不是也是如此。如图：

一般三角形

这是一个一般三角形。我们可以以他的高将它分为两个直角三角形，同时这两个直角三角形也是同高，所以我们可以把高设为h。这两个直角三角形面积分别是1/2abh，和1/2bch。现在这两个面积部分加在一起，也就是整个三角形的面积此时，我们可以利用乘法分配律提取1/2和h，1/2hab加bc。Ab和bc+在一起，其实就是这个三角形的底，最终发现还是底乘高除以二。任何三角形都可以分为这样的两个直角三角形，所以所有三角形的面积公式都是底乘高除以二，这是一个普遍适用公式。我们利用了割补变换，求出了三角形的面积。接下来我们学习了平行四边形的面积，还有梯形的面积，其实也是割补变换。具体证明如下：

平行四边形面积公式证明

梯形面积公式证明

  最后我们学习了圆的面积，虽然圆的面积公式证明也是割补变化，但它是无限分割，是一种极限思维。如图：

无线分割圆

这是一个圆形。我们将它平均分割成无数个一模一样的等腰三角形。三角形的面积最后再乘以数量就是整个圆的面积。但是每次分割总会有误差，因为它的底边并不是弧线，但当你分的越细的时候，它的误差就越小，所以才要无限分割。一个的面积是底乘高除二。 高其实正好就是圆的半径。最后所有的底加在一起，其实也就是圆的周长，最后再除以一个二。也就是周长乘半径除二。我们知道周长是圆周率乘直径也就是πd半径表示为r，πd÷2＝πr，πr×r也就是πr²，这就是圆的面积公式。还有一种方法。

圆形展开图

我们将圆所分成的三角形分为两半，然后将它拼插在一起，其实就是一个近似的长方形。三角形分的越细就越接近长方形，所以还是要无限分割。此时拼成一个长方形之后，它的面积就等于长乘宽。长方形的宽其实也正好是圆的半径，它的长也就是周长的一半。最后相乘还是πr²。

  接下来就到了三维的立体阶段。此时又多了一个维度，就是高。首先我们研究了长方体和正方体。分为了两个方面来研究一个是它的体积，另一个是它的表面积。首先让我们来看一下它的体积，我们同样可以用单位小木块，比如体积为一立方厘米，来扑满这个正方体或长方体，看有几个这样的小正方体，它的体积就是多少。我们可以先把一层铺满，然后看有几层。如果想要知道一层，其实只用知道它的长和宽分别是几个就可以了，长乘宽算出一层有几个，再乘层数就是几个小正方体，也就是它的体积是多少。其实也就是长乘宽乘高。现在让我们看一下它的表面积，比如正方体有六个面，并且都是正方形，面积一样。所以我们只用算出一个面的面积再乘六就可以了。而长方形的展开图是什么样的呢？它分为哪几个面？首先它有四个长方形，而两头有时是正方形，有时是长方形，所以分别加在一起就可以了。现在让我们看一下圆柱和圆锥的体积和表面积。圆柱的表面积其实分为两个部分。第一部分底面和上底面的两个面积一样的圆形，第二个部分就是圆柱的侧面，它的展开图是一个长方形，分别算出来再加在一起就可以了。圆的面积我们都会求，而这个长方形的宽其实就是这个圆的周长，它的长就是圆柱的高。现在让我们看一下它的体积。如图：

圆柱体积模型演示图

首先我们将一个圆柱沿它的上底面。平均分成多个等腰纸三角体。然后再把分成的三角体再分为两半，然后将它拼接。最后发现他是一个长方体。这个长方体的宽是圆的半径，它的长是周长的一半，它的高也就是圆柱的高。最终的结果就是：πr²h。也就是圆柱的底面积乘高等于它的体积。现在再让我们看一下圆锥的表面积和体积，圆锥的表面积展开图其实就是底面的一个圆形，还有一个扇形，这样只用分别求出来就可以了。圆的面积我们会求，而这个扇形的弧长就是圆的周长。最后我们再求一下这个扇形的母线是多少就可以。而它的体积怎么求呢？我觉得他和圆柱的体积有关系，因为它们的底面都是一个正圆，如果一个同底等高的圆柱和圆锥放在一起，我们可以看一看几个圆锥的体积可以填满一个圆柱，那么求出来圆柱的体积再乘以他们的关系，就是圆锥的体积了。最后我们实验证明大体是三比一。

  这也就是一到六年级学的全部关于几何的知识了，可是我们学完这些之后，以后就不会再学几何了吗？我想肯定不会的，所以我觉得可能会学球的体积，表面积，还有有关四维空间的知识。