4-【斐波那契数列模型】LeetCode746-使用最小花费爬楼梯

题目

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999

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思路1

楼梯顶部位置是cost数组最后一个元素的下一个元素对应的位置。

step1：状态表示

经验 + 题目要求。

以i位置为结尾：dp[i]表示到达i位置时的最小花费。

step2：状态转移方程

用之前或之后的状态，推导出dp[i]的值。

根据最近的一步来划分问题。dp[i]划分出2个子问题：

1. 先到达i - 1位置，然后支付cost[i - 1]，走1步到i位置。dp[i] = dp[i - 1] + cost[i - 1]。
2. 先到达i - 2位置，然后支付cost[i - 2]，走2步到i位置。dp[i] = dp[i - 2] + cost[i - 2]。

得出状态转移方程：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])。

step3：初始化

保证填表时不越界。

由题目要求：你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，得dp[0] = 0、dp[1] = 0。

step4：填表顺序

从左往右。

step5：返回值

返回dp[n]。

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代码1

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        //1.创建 dp 表
        int n = cost.length;
        int[] dp = new int[n + 1]; //看返回值即可，这里返回 dp[n]，那么就要多开辟一位 dp[n + 1]。因为数组下标索引比实际存储的值多一个

        //2.初始化
        
        //3.填表
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }

        //4.返回值
        return dp[n];
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

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思路2

step1：状态表示

经验 + 题目要求。

以i位置为起点：dp[i]表示从i位置出发，到达楼顶时的最小花费。

step2：状态转移方程

用之前或之后的状态，推导出dp[i]的值。

根据最近的一步来划分问题。dp[i]划分出2个子问题：

1. 当前在i位置，支付cost[i]，往后走1步，从i + 1的位置出发到终点。此种情况对应的最小花费：dp[i + 1] + cost[i]。
2. 当前在i位置，支付cost[i]，往后走2步，从i + 2的位置出发到终点。此种情况对应的最小花费：dp[i + 2] + cost[i]。

得出状态转移方程：dp[i] = min(dp[i + 1] + cost[i], dp[i + 2] + cost[i])。

step3：初始化

保证填表时不越界。

dp[n - 1] = cost[n - 1]、dp[n - 2] = cost[n - 2]。

step4：填表顺序

从右往左。

step5：返回值

返回min(dp[0], dp[1])。

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代码2

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        //1.创建 dp 表
        int n = cost.length;
        int[] dp = new int[n]; 

        //2.初始化
        dp[n - 1] = cost[n - 1];
        dp[n - 2] = cost[n - 2];

        //3.填表
        for(int i = n - 3; i >= 0; i--) {
            dp[i] = Math.min(dp[i + 1], dp[i + 2]) + cost[i];
        }

        //4.返回值
        return Math.min(dp[0], dp[1]);
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

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总结

每道题的状态表示都有不同的特点~

一般线性的状态表示可先以某一个位置为起点或以某一个位置为结尾，进而推导状态转移方程，若能解决问题，则OK。

若定义的状态表示，无法推导出状态转移方程，则说明状态标识是错的。

多试错~