Moore-Penrose 伪逆与 Hadamard 乘积
1.1 Moore-Penrose 伪逆
Moore-Penrose 伪逆
Moore-Penrose 伪逆是一种矩阵的广义逆，通常用于处理矩阵不可逆或奇异的情况。给定一个矩阵 A，其Moore-Penrose 伪逆通常表示为 A⁺。
计算方法
计算Moore-Penrose 伪逆的一种常见方法是使用奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。
假设 A 是一个大小为 m × n 的矩阵，其SVD为 A = U Σ Vᵀ，其中 U 和 V 是正交矩阵(正交矩阵是指其转置等于逆的矩阵，假设A是一个n阶方阵，Aт是A的转置，如果有AтA=E（单位矩阵），则称A是正交矩阵。)，Σ 是对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
Moore-Penrose 伪逆通过以下方式计算：
[ A⁺ = V Σ⁺ Uᵀ ]
其中，Σ⁺ 是将 Σ 中非零奇异值取倒数后再转置得到的对角矩阵。
性质
Moore-Penrose 伪逆具有以下性质：
-
存在性： 对于任意矩阵
A，其Moore-Penrose 伪逆A⁺总是存在。 -
唯一性： 每个矩阵都有唯一的Moore-Penrose 伪逆。
-
性质：
-
对称性：
(A⁺)⁺ = A -
幂等性：
A A⁺ A = A -
A⁺ A和A A⁺都是投影矩阵，即幂等矩阵。
-
1.2 矩阵A 和 B 的逐元素乘积（ Hadamard 乘积）
当两个矩阵 (A) 和 (B) 进行逐元素乘积，也被称为 Hadamard 乘积时，可以使用如下的 Markdown 格式表示：
[ C = A \odot B ]
其中，(C{ij} = A{ij} \cdot B_{ij})，表示 (C) 的第 (i) 行第 (j) 列的元素等于 (A) 的相应元素与 (B) 的相应元素相乘。
数学表示为：
C = | A_{11} * B_{11} A_{12} * B_{12} ... A_{1n} * B_{1n} |
| A_{21} * B_{21} A_{22} * B_{22} ... A_{2n} * B_{2n} |
| ... ... ... ... |
| A_{m1} * B_{m1} A_{m2} * B_{m2} ... A_{mn} * B_{mn} |
这种逐元素的乘积运算在许多领域中都有应用，特别是在数值计算、信号处理、图像处理以及深度学习等领域。 Hadamard 乘积与矩阵的标准矩阵乘法有所不同，标准乘法是将行与列的对应元素相乘再相加，而 Hadamard 乘积仅仅是对应位置的元素相乘，结果矩阵的维度与原始矩阵相同。