Hilbert变换求信号的包络线及MATLAB代码

一、Hilbert变换表达式

Hilbert变换是信号与的卷积，表达式如下：

由于本质是卷积，因此可以从“线性系统”，“调幅-调频”等角度思考。进一步可参考如下链接：

1. 希尔伯特变换（Hilbert Transform）简介及其物理意义_兔角与禅-CSDN博客_hilbert
2. 希尔伯特变换与瞬时频率问题（一）：希尔伯特变换与瞬时频率问题--连载（一） - 知乎
3. 伯特变换与瞬时频率问题（二）：希尔伯特变换和瞬时频率问题--连载（二） - 知乎
4. 希尔伯特谱、边际谱、包络谱、瞬时频率/幅值/相位——Hilbert分析衍生方法及MATLAB实现

二、利用Hilbert变换求信号包络线 

1. 理论

截图自 Signal processing and feature extraction -- by Yaguo Lei Redirecting

2. 理解：Hilbert变换是将信号相位延迟90°。

3. 举例：若x=sin(wt), 则，Hilbert变换后的信号为y=cos(wt)。则信号的瞬时幅值（instantaneous amplitude） 。

4. 图解

如下图为原信号，为Hilbert变换，是包络线。

5. 进一步解释

（1）知乎讨论：希尔伯特变换将信号表示为复解析信号的物理意义是什么？ - 知乎

（2）为什么希尔伯特变换可以求包络？ - 知乎  -- 该内容截图如下

 三、MATLAB代码

1. MATLAB代码理解

matlab中hilbert(x)的结果为下图中的复平面向量，是个复数，同时包含实部和虚部。所以，包络函数=abs(hilbert(x))。

2. MATLAB官方解释 Hilbert Transform- MATLAB & Simulink

3. MATLAB 中文论坛 -- 关于利用HILBERT变换和插值求包络线的讨论：

matlab中怎么从一个信号中取出包络？ – MATLAB中文论坛

4. 代码和图

clc
clear
close all
% 利用Hilbert变换求包络线
fs=30;
t=0:1/fs:200; 
x6=sin(2*pi*2*t)+sin(2*pi*4*t);
x66 = hilbert(x6);
xx = abs(x66);
figure(1)
hold on
plot(t,x6);
plot(t,xx,'r')
xlim([0 5])
hold off

% 选取局部最大值，然后进行插值
d = diff(x6);
n = length(d);
d1 = d(1:n-1);
d2 = d(2:n);
indmin = find(d1.*d2<0 & d1<0)+1;
indmax = find(d1.*d2<0 & d1>0)+1;
envmin = spline(t(indmin),x6(indmin),t);
envmax = spline(t(indmax),x6(indmax),t);
figure
hold on
plot(t,x6);
plot(t,envmin,'r');
plot(t,envmax,'m');
hold off
xlim([0 5])

代码结果：

Hilbert 包络线

局部最大值+插值 包络线

思考：

注意经验模态分解（Empirical Mode Decomposition）与Hilbert变换的关系！！！

利用Hilber变换得到的包络线是否合理？？？