MZI 中的 Transfer function H11 是 H22 的逆多项式

引言

阅读这篇以前，推荐阅读 Reverse polynomial, reciprocal polynomial and reflected polynomial（逆多项式，倒数多项式和反射多项式） 了解逆多项式的概念。

正文

首先，MZI 的四个 transfer function 为：
$$\begin{array}{rl}{H}_{11}\left(z\right)& =-\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}+\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}{z}^{-1}\\ H_{12}\left(z\right)& =-j\left(\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}+\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}{z}^{-1}\right)\\ H_{21}\left(z\right)& =-j\left(\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}+\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}{z}^{-1}\right)\\ H_{22}\left(z\right)& =\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}-\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}{z}^{-1}\end{array}$$
根据逆多项式的定义，我们现在对（1）式进行操作。
$$\begin{array}{rl}H& =H_{11}\left(z^{-1}\right)z^{-1}\\ & =\left[-\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}+\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}z\right]\cdot z^{-1}\\ & =\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}-\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}{z}^{-1}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
可以看到（5）式的结果与（4）式完全一致。
$$\begin{array}{rl}{H}_{12}\left(z\right)& =H_{12}\left(z^{-1}\right)z^{-1}\\ & =-j\left(\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}+\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}z\right)\cdot z^{-1}\\ & =-j\left(\sqrt{1-{\kappa }_1}\sqrt{{\kappa }_2}+\sqrt{{\kappa }_1}\sqrt{1-{\kappa }_2}{z}^{-1}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
可以看到，（6）式的结果与（3）式完全一致，至此，我们得到结论，MZI 中的 Transfer function $H_{11}$ 是 $H_{22}$ 的逆多项式，同时 $H_{12}$ 是 $H_{21}$ 的逆多项式。

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