递推_二进制_方向向量_边界问题_异或_贪心_备份数组_AcWing 95. 费解的开关

#include

using namespace std;

const int N=10;

char a[N][N],backups[N][N];

int dx[5]={-1,0,1,0,0},dy[5]={0,0,0,1,-1};

void turn(int x,int y)
{
    for(int i=0;i<5;i++)
    {
        int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
        if(a<0||a>4||b<0||b>4)
            continue;
        backups[a][b]^=1;
    }
}

void solve()
{
    for(int i=0;i<5;i++)
        for(int j=0;j<5;j++)
            cin>>a[i][j];
            
    int res=10;
    for(int op=0;op<(1<<5);op++)
    {
        int step=0;
        memcpy(backups,a,sizeof a);
        
        for(int i=0;i<5;i++)
            if(!(op>>i&1))
            {
                step++;
                turn(0,i);
            }
            
        for(int i=0;i<4;i++)
            for(int j=0;j<5;j++)
                if(backups[i][j]=='0')
                {
                    step++;
                    turn(i+1,j);
                }
        
        bool success=true;
        for(int i=0;i<5;i++)
            if(backups[4][i]=='0')
                success=false;
                
        if(success)
            res=min(res,step);
    }
    
    if(res>6)
        res=-1;
    cout<<res<<endl;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    
    while(t--)
        solve();
        
    return 0;
}

算是对现在的我来说比较有挑战性的一道题，完全理解该题的时候感觉非常爽，有一种通透的感觉

该题的意思是输入一个5*5的矩阵，1表示灯是亮的，0表示灯是灭的，问最少经过多少次操作可以使得灯全部亮着，一次操作，该灯上下左右的灯都会受到影响，但是注意，上下左右的灯在该次操作时不会直接影响另外的灯

意思是说，每一次操作最多直接影响5盏灯，我刚开始以为牵一发而动全身，其实没有那么复杂

位运算

$$1<<5=2^5$$
$$op>>i\wedge 1$$表示的意思是移除$i$位数字之后，末位的数字是多少（用二进制表示的数字的末尾）

递推

把一盏灯状态修改，该灯的上下左右的灯全部变成和原来状态相反的情况，本来是亮的，现在变成熄灭，本来熄灭的，现在变成亮的

该题可以发现每一个位置最多被点击一次，如果可以被点击两次，相当于第一次点击白费了，反证法可以证明该观点成立

点击的前后顺序不影响答案，假设先点亮了某一盏灯，该灯周围的四盏灯都受到了影响，假设后点击该盏灯，有可能周围的四盏灯的状态确实和前面不一样，但是不影响最终的答案，答案只需要保证最后所有的灯都是亮的即可

上面的结论自己写还是比较难发现（至少对我来说）

第一行的情况固定之后，只有唯一一种方案进行操作，不管能不能使得灯全部变亮，第一行的数字只能由该数字下一行且同一列的数字来改变其状态，假设该数字是0，那么只有改变该一行同一列的数字，使得该数字变成1才有可能实现整个矩阵全部变成1

第一行有五个数字，每一个数字可以选择0或者1，有$2^5$种选择，5个数字，每个数字都是0或者1，所以可以用0到31的二进制表示第一行的所有数字，对于每一个输入的矩阵，第一行都可以有32种情况，所以可以用上面代码中的操作，应该也可以直接对数组进行初始化，把第一行初始化为字符'1'和字符'0'

试了一下，直接初始化不可行，因为第一行左右两个点之间会互相影响

第一个循环，如下这个循环，

		for(int i=0;i<5;i++)
            if(!(op>>i&1))
            {
                step++;
                turn(0,i);
            }

表示的是二进制表示开关的情况，啥意思呢，意思就是，按不按开关，其实和原来的矩阵是啥样没有关系，就是表示第一行每一个点按不按开关，!(op>>i&1)加不加取反都是一样的，两种i情况的数目是一样多的，假设我们1表示按开关的话，就不加取反，假设我们0表示按开关的话，就加上取反

step表示的是每一种方案操作的次数，turn表示的是按开关会带来的影响

turn 函数

首先定义一个方向变量，表示上下左右中5个方向，我比较喜欢左中右，上下这个顺序，所有x的方向向量是-1,0,1,0,0,y的方向向量是0,0,0,1,-1，然后遍历几个方向向量，表示新的点，如果越界了就不使用，没有越界就把数组的元素变成和当前元素不同的元素，比如说'1'变成'0'，实现该操作可以使用^，经过异或操作，可以实现该结果

'1'的ASCII码是110001，1的ASCII码是000001，异或之后是110000，刚好是'0'的ASCII码，比较巧妙

数组备份

每一次操作都需要修改数组的元素，但是我们需要进行32次操作，所以必须备份数组，保存原来的元素

所以可以使用一个备份数组，每一次都是使用备份数组进行操作

memcpy(backups,a,sizeof a);

该函数前面是备份数组，中间是来源数组，最后面是复制的长度

修改

只要数组是'0'表示下一行需要点击开关，总共五行，我们只需要遍历前面四行，因为每一次修改的都是该行的下一行

最后检查最后一行是否有'0'，假设有'0'表示没有实现要求