四面体：2017年理数全国卷C题19

四面体：2017年理数全国卷C题19 （12 分）

如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，

（1）证明∶平面 平面 ;

（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角 的余弦值.

2017年理科数学全国卷C

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【解答问题1】

作 中点 , 并连接 .

因为 是正三角形，, 所以 ,

又因为 , 所以

所以 是等腰直角三角形，所以

又因为点 是 中点，所以 （三线合一）

所以 是二面角 的平面角.

因为 , 所以 , 所以

所以 平面 平面 . 证明完毕.

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【解答问题2】

连接 , 记 中点为 , 并连接 .

因为 , 所以 .

又因为 , 所以

根据前节结论可知：, , 而 , 所以 是正三角形，

又因为点 是 中点，所以

根据前节结论， , 所以 平面 , 所以

因为 , 所以 平面 , 是 在平面 内的投影.

令 , 则 ,

二面角 的余弦值

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