一篇文章理解C++中红黑树、二叉搜索树、AVL树底层原理和代码实现

二叉搜索树

1.概念

若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
它的左右子树也分别为二叉搜索树。

2.二叉搜索树的常规操作

2.1查找

a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

2.2插入

a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

2.3删除

删除所遇到的情况最为复杂，为了保证删除一个节点后剩余节点仍然组成二叉搜索树，因此需要针对不同情况进行不同分析。

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情
况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点（此种情况最为复杂）

看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程
如下：
情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除
情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除
情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点
中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除（或者寻找左子树中最大的节点）

2.4代码实现 

template
struct BSTNode
{
    BSTNode(const T& data = T())
    : _pLeft(nullptr) , _pRight(nullptr), _data(data)
    {}
    BSTNode* _pLeft;
    BSTNode* _pRight;
    T _data;
};
template
class BSTree
{
    typedef BSTNode Node;
    typedef Node* PNode;
    public:
    BSTree(): _pRoot(nullptr)
    {}
    ~BSTree();
    // 根据二叉搜索树的性质查找：找到值为data的节点在二叉搜索树中的位置
    PNode Find(const T& data);
    bool Insert(const T& data)
    {
    // 如果树为空，直接插入
    if (nullptr == _pRoot)
    {
    _pRoot = new Node(data);
    return true;
    }
    // 按照二叉搜索树的性质查找data在树中的插入位置
    PNode pCur = _pRoot;
    // 记录pCur的双亲，因为新元素最终插入在pCur双亲左右孩子的位置
    PNode pParent = nullptr;
    while (pCur)
    {
    pParent = pCur;
    if (data < pCur->_data)
    pCur = pCur->_pLeft;
    else if (data > pCur->_data)
    pCur = pCur->_pRight; // 元素已经在树中存在
    else
    return false;
}
    // 插入元素
    pCur = new Node(data);
    if (data < pParent->_data)
    pParent->_pLeft = pCur;
    else
    pParent->_pRight = pCur;
    return true;
}
    bool Erase(const T& data)
{
    // 如果树为空，删除失败
    if (nullptr == _pRoot)
    return false;
    // 查找在data在树中的位置
    PNode pCur = _pRoot;
    PNode pParent = nullptr;
    while (pCur)
    {
    if (data == pCur->_data)
    break;
    else if (data < pCur->_data)
    {
    pParent = pCur;
    pCur = pCur->_pLeft;
    }
    else
    {
    pParent = pCur;
    pCur = pCur->_pRight;
}
}
    // data不在二叉搜索树中，无法删除
    if (nullptr == pCur)
    return false;
    // 分以下情况进行删除，同学们自己画图分析完成
    if (nullptr == pCur->_pRight)
    {
    // 当前节点只有左孩子或者左孩子为空---可直接删除
    }
    else if (nullptr == pCur->_pRight)
    {
    // 当前节点只有右孩子---可直接删除
    }
    else
    {
    // 当前节点左右孩子都存在，直接删除不好删除，可以在其子树中找一个替代结点，
    比如：
    // 找其左子树中的最大节点，即左子树中最右侧的节点，或者在其右子树中最小的节
    点，即右子树中最小的节点
    // 替代节点找到后，将替代节点中的值交给待删除节点，转换成删除替代节点
    }
    return true;
    }
    void InOrder();
    private:
    PNode _pRoot;
};

2.5二叉搜索树的应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到
的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
        以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
        在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即的键值对。该种方
式在现实生活中非常常见：
        比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文就构成一种键值对；
        再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是就构成一种键值对

2.6性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：$log_2 N$
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$(N/2)

AVL树

1.AVL树概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树。
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

左子树存在右子树不存在则父节点平衡因子为-1，右子树存在左子树不存在则父节点平衡因子为1，左右子树都存在则父节点平衡因子为0.

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。

2.AVL树的结点

template
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode(const T& data)
    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
    , _data(data), _bf(0)
    {}
    AVLTreeNode* _pLeft; // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode* _pRight; // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf; // 该节点的平衡因子
};

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
AVL树插入之后要保证插入之后的树还是AVL树，必须根据平衡因子对AVL树进行旋转，根据不同情况AVL树的旋转可以分为单左旋，单右旋，双旋等。

4.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

 2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

 

红黑树 

1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或
Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

2.红黑树的性质

1.根节点为黑色

2.红节点的子节点必须为黑色

3.每条路径上的黑色节点数量必须相等

4.最长路径不超过最短路径的2倍

5.每个叶子节点都是黑色

3.红黑树节点的定义

// 节点的颜色
    enum Color{RED, BLACK};
    // 红黑树节点的定义
    template
    struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
    : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
    , _data(data), _color(color)
    {}
    RBTreeNode* _pLeft; // 节点的左孩子
    RBTreeNode* _pRight; // 节点的右孩子
    RBTreeNode* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
    出该字段)
    ValueType _data; // 节点的值域
    Color _color; // 节点的颜色
};

主要定义节点的颜色和三叉链 方便插入和迭代器的遍历 

4红黑树的结构

5红黑树的插入 

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template
class RBTree
{
    //……
    bool Insert(const ValueType& data)
    {
        PNode& pRoot = GetRoot();
        if (nullptr == pRoot)
        {
        pRoot = new Node(data, BLACK);
        // 根的双亲为头节点
        pRoot->_pParent = _pHead;
        _pHead->_pParent = pRoot;
        }
        else
        {
        // 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
        // 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
        // 若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
        }
        // 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
        pRoot->_color = BLACK;
        _pHead->_pLeft = LeftMost();
        _pHead->_pRight = RightMost();
        return true;
    }
private:
    PNode& GetRoot(){ return _pHead->_pParent;}
    // 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
    PNode LeftMost();
    // 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
    PNode RightMost();
    private:
    PNode _pHead;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏

如果红黑树性质遭到破坏，需要根据插入位置的实际情况进行变色，或者旋转处理。具体情况可以分为如下3种。

新节点的颜色默认为红色

约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一（cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红）

插入节点的父节点为红色且插入节点的叔叔节点存在且为红色，此时将父节点和叔叔节点变为黑色，祖父节点变为红色，如果祖父为根节点，则需要将祖父变黑，如果祖父不为根节点，则将祖父当成cur节点继续向上调整。

​​​​​​​

 情况二（cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑）

u 的情况分为两种

情况一：u不存在，则cur一定为新插入的节点，如果cur不是新插入的节点，那么cur和p一定有一个节点为黑色。

情况二：u存在且为黑色，那么cur原来一定是黑色，现在看到其为红色的原因是因为子树在调整的时候将其变红的。

AVL树和红黑树旋转的时候都是讲高的向低的旋转

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色--p变黑，g变红

情况三（cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑）

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋，则换成了情况二

 

 

第三种情况最后经过左右双旋和变色后如右下角所示。旋转后将g变红，cur变黑 。