王德峰：毕达哥拉斯学派与几何学的诞生（一）

数的宇宙观

毕达哥拉斯这个想法听上去很奇怪，数本是人类用来整理外部事物的方法，怎么能够充当宇宙的本源？我们请毕达哥拉斯给出证据来。毕达哥拉斯肯定拿不出证据。整个宇宙由数来构造的。他所说的就是他看到的如此，数与数之间的和谐比例的关系，不仅是人类的数学思想，而就是宇宙的构造本身。

他举了例子，比如说乐器，假如我们有小提琴，我们拉小提琴的时候，我们左手的手指在拨动琴弦，让他以一定的距离的方式，就一定得按照一定的比例来定位，然后拉出那个声音来，这个声音与声音之间如果是和谐的，那叫乐音，不是噪音，这乐音怎么造成的？是在一定的比例关系当中发生的和谐，那就是音乐来了。

看来数与数之间的和谐比例的关系是音乐的前提，也是宇宙存在的方式。所以他说宇宙是个巨大的百音盒，100种音，只不过宇宙的声音我们人耳听不到而已。毕达哥拉斯就是这么开始说宇宙本原了，把数看成宇宙本原，它的意义十分重大。

通过讲数是宇宙的本原，来做了这样一种区分，实际上有两类事物，一类是可感的事物，比方说我触摸到这个杯子，杯子是个可感的事物；还有一类事物叫可知的事物，就是可以被认知的事物。可感的事物，不等于可知的事物，你面对一个可感的事物，但你还对它并无所知，你只是感觉到它，因此可知的事物一定要超越感性，它是人心可以认识到的东西。比方说数，数与数之间的合乎比例的关系，这就是可知的事物。可感的事物的根据在可知的事物中，我们通过把握到可知的事物，我们才能理解可感的事物。所以倘若要追问宇宙的本源，我们要抓住的是可知的事物。

在毕达哥拉斯那里，要抓住的就是数。一个东西被感觉到，但并没有被认识到，但是我们对数可以有认识，数一数的比例关系可以用数学来表达，用公式来表达，这些都是可知的事。这样，毕达哥拉斯学派就扭转了古希腊哲学思想的方向，本来是在自然界中寻找事物的本源，万物的本源，现在要在可认知的事物当中确立万物的本源，它开始走向超感性的道路。

我们确实不可能看到、闻到数字、摸到数字，但我们就是用数学来整理外部事物的，这一步走得非常关键。西方思想的基本特征恰恰就萌芽于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派既是一个哲学的学派，又是个数学的学派。这个学派同时是数论的创立者。我们知道，数论是数学当中最核心、最基础的，也是最难的部分。比方说哥德巴赫猜想就是一个数论问题，很难。

毕达哥拉斯学派既是数学学派，又是哲学学派，他把哲学和数学统一起来，这种统一意味着什么？我们来思考一个问题：假如我们此刻上几何学的课。几何学的老师在几何学的课堂上跟大家讲几何学的公理。比方说欧几里得几何学的第五公理是平行线公理，老师开始讲这条公理了，他是这么说的：如果有两条彼此平行的直线线段，若无限延伸，将永不相交。他这是在表达平行线公理了。突然有一个学生举手了：“老师你怎么知道的？”老师说：“我画过的，我从上海的静安寺一直画到外滩，没相交。”那个同学又问了：“如果越过黄浦江，相交了该怎么办？”试想一下，在几何学的课堂上会发生这样的讨论吗？不可能。因为这条公理一旦被说出来，所有听到的人立刻明白，不证自明，这叫公理，凡公理就是指不证自明的道理——两条彼此平行的直线线段若无限延伸将永不相交，所有人不会怀疑。我刚才虚构出来的老师和学生的对话，它不可能发生，它说明了一个原理，说明了几何学不是一门经验科学，几何学并不建立在观察和实验的基础上，平行线公理并不是画了多么长才能形成的，请问无限延伸，这在宇宙中怎么可能呢？无限延伸是在感性的世界里永远做不到的事情。但是你说出来，一旦说出来，我们理性上立刻认同的道理，它不是在说某次观察和实验的基础上的知识。

所以，几何学它不是门科学，我们现在讲的科学是自然科学或社会科学，其实都是经验科学，要在实证的基础上给出理论，几何学不是这样的学问。

我们再比方说几何学第一堂课要讲几何学的基本观念，几何学的基本观念有点、线、面、体。先讲点，几何老师会跟我们这么说：“点是一个纯粹的位置，它没有长度，更没有厚度，也没有面积。”他说着就用粉笔在黑板上点了一下，这就是点。而线就是点的移动，点的移动造成了线，而线是没有面积的，更没有体积。他这么说的同时，就用粉笔在黑板上画出一条线来，倘若一个学生马上提问：“你说你画的那条线，是没有面积也没有体积的。你现在仔细看一看，你用高倍的电子显微镜照一照，你发现它简直是山峦，哪里是没有面积和体积的点的移动呢？”学生若这样一提问，老师倒是哑口无言，因为它确实是用粉笔点的，然后用粉笔在黑板上画那条线的，它怎么会没有体积？几何学老师怎么面对这样的学生呢？他只能这么说，其实我就用粉笔在黑板上画线，只是为了方便教学。

在宇宙中根本不存在没有面积又没有体积的纯粹的点的移动，这在这宇宙中不能找得到。

什么叫面？线的移动。假如一条直线移动了一下，成了一个矩形了，或正方形或长方形。那么什么叫体？面的移动。假如一个正方形，它的一条边围绕着它另外一条边转动360度，就成了一个圆柱体。

几何学老师在课堂上讲的：点、线、面、体，在宇宙中都不存在。所以大家先要确认这一点，我们在宇宙中不能找到一条纯粹的线，也不能找到一个纯粹的面，也没有一个纯粹的圆柱体。你哪怕对一个物质材料加工再精确，它还是有误差。所以几何学老师在几何学课堂上跟我们讲的点、线、面、体，都不是世界上真实存在的东西，而是讨论我们心中本有的观念。这本有的观念是我们在理性本来具备的。

我们可以在理性上，确认一个纯粹的“点”——它没有长度、没有面积、也没有体积。说到这里，几何学不是自然科学，几何学跟真实的感性的自然界没关系，几何学讨论的全是我们人心理性部分所固有的判断。