高中奥数 2021-10-05

2021-10-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P058 例4）

已知点、、在某平面上.设、、、、、是同一平面上的点,且使得、、、、、为正定向等边三角形.证明:点是线段的中点.

证明

如图所示,连结、在和中,有,,又,于是,绕点顺时针旋转,变换为.

图1

类似地,绕点顺时针旋转的几何变换中,变为.

又绕顺时针旋转,线段变为线段,所以,,且和与的夹角都等于,即、、三点共线,综上,点是线段的中点.

2021-10-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P058 例5）

如图,以、为焦点的椭圆与的边交于.

在的延长线上任取点,以为圆心、为半径作圆弧交的延长线于点;

以为圆心、为半径作圆弧交的延长线于点;

以为圆心、为半径作圆弧交的延长线于点;

以为圆心、为半径作圆弧交的延长线于.

求证:(1)点与点重合,且圆弧与相内切于点;

(2、、、四点共圆.(2006年全国高中数学联赛)

证明

如图,的角平分线与的角平分线的交点即为由点到点的旋转变换的旋转中心,旋转角度为,且.

![图2https://upload-images.jianshu.io/upload_images/13705030-9a177a2c3497ca46.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

同理的角平分线与的角平分线的交点即为由点到点的旋转变换的旋转中心,旋转角度为,且.

于是,有.

设点、在上的投影分别为、,则.

.

由于,所以,,即与重合.

又因为点、均在的角平分线上,所以与重合.

从而点与点重合,圆弧与相内切于点,且、、、四点共圆.

2021-10-05-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P059 例6）

一个以点为圆心的圆经过的顶点、,又与边、分别相交于点、,与的外接圆交于点、.求证:.

证明

如图,设过点且垂直于的直线为.

图3

于是,只需证点在直线上.

以为反射轴,作轴反射变换.

设,.

则,.

所以,.

连结、、、、.

又,所以、、三点共线.

由,知、、三点共线.

因此、交于点.

故点在直线上.